Test zu lekztion 8 wann räumst du deine zimmer auf? am montag mache ich aufräume meine zimmer wann machst du gerage sauber? am mittwoch mache ich die gerage sauber. gießt du nachmittags die blumen? nein, ich giße nicht am nachmittag die blunen fahrst du das gahrrad? nein, opa repariert das fahrrad wer holt die torte ab? правильно?

Am montag räume ich mein zimmer auf. am mittwoch mache ich sauber. что за слово gerage? это garage или gerade? nein, ich giesse nicht nachmittags die blumen. nein, ich fahre nicht fahrrad. mein opa repariert fahrrad.

для удобства вершины: а (-4,2,6), b ( 2,-3,0), c ( -10,5,8), d (-5,2,-4).

находим векторы:

ab: (6; -5; -6),

ac: (-6; 3; 2),

ad: (-1; 0,-10).

находим векторное произведение ав х ас.

  i           j         k |         i         j

6       -5         -6 |         6         -5

-6         3           2|         -6         3   =

= -10i + 36j + 18k - 12j + 18i - 30k = 8i + 24j - 12k = (8; 24; -12).

находим смешанное произведение (ав х ас) * ad.

(ав х ас) = (8; 24; -12),   ad = (-1; 0,-10).  

(ав х ас) * ad = -8 + 0 + 120 = 112.

объём пирамиды равен:

v = (1/6)*((ав х ас) * ad) = (1/6)*112 = 56/3 ≈ 18,67 куб.ед.

ответ: план:

    введение

    1 прямоугольная система координат на плоскости

    2 прямоугольная система координат в пространстве

    3 орты

    4

введение

прямоугольная, или декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве.

1. прямоугольная система координат на плоскости

прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат x'x и y'y. оси координат пересекаются в точке o, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. в правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси y'y вверх, ось x'x смотрела направо.

четыре угла (i, ii, iii, iv), образованные осями координат x'x и y'y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

рис. 1

положение точки a на плоскости определяется двумя координатами x и y. координата x равна длине отрезка ob, координата y — длине отрезка oc в выбранных единицах измерения. отрезки ob и oc определяются линиями, проведёнными из точки a параллельно осям y'y и x'x соответственно. координата x называется абсциссой точки a, координата y — ординатой точки a. записывают так: a(x,\; y).

если точка a лежит в координатном углу i, то точка a имеет положительные абсциссу и ординату. если точка a лежит в координатном углу ii, то точка a имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. если точка a лежит в координатном углу iii, то точка a имеет отрицательные абсциссу и ординату. если точка a лежит в координатном углу iv, то точка a имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

2. прямоугольная система координат в пространстве

прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат ox, oy и oz. оси координат пересекаются в точке o, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). ox — ось абсцисс, oy — ось ординат, oz — ось аппликат.

если большой палец правой руки принять за направление x, указательный за направление y, а средний за направление z, то образуется правая система координат. аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси ox против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси oy, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси oz. правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

рис. 2

положение точки a в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. координата x равна длине отрезка ob, координата y — длине отрезка oc, координата z — длине отрезка od в выбранных единицах измерения. отрезки ob, oc и od определяются плоскостями, проведёнными из точки a параллельно плоскостям yoz, xoz и xoy соответственно. координата x называется абсциссой точки a, координата y — ординатой точки a, координата z — аппликатой точки a. записывают так: a(x,\; y,\; z).

3. орты

прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

в трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются \mathbf{i}, \mathbf{j} и \mathbf{k} или \mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y и \mathbf{e}_z.

при этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

    [\mathbf{i}\; \mathbf{j}]=\mathbf{k};

    [\mathbf{j}\; \mathbf{k}]=\mathbf{i};

    [\mathbf{k}\; \mathbf{i}]=\mathbf{j}.

4.

впервые прямоугольную систему координат ввел рене декарт в своей работе «рассуждение о методе» в 1637 году. поэтому прямоугольную систему координат называют также — декартова система координат. координатный метод описания объектов положил начало аналитической . вклад в развитие координатного метода внес также пьер ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. декарт и ферма применяли координатный метод только на плоскости.

координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил леонард эйлер уже в xviii веке.