Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. при этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. сколько этажей в доме, если всего в нем 114 квартир?

Нам известно, что в доме 114 квартир.
Общее число квартир (О) определяется так: О=К(число квартир на площадке)·Э(число этажей)·П(число подъездов). При этом К,Э,П - целые числа.  
По условию К·Э·П=114. , Т.е. мы можем определить К,Э и П найдя сомножители числа 114. 
114=1·2·3·19
По условию  Э>К>П>1, значит 1 мы исключаем( на общее число квартир это не повлияет!) и расположим оставшиеся сомножители в порядке убывания: 19>3>2. 
Из сравнения неравенств видно, что Э=19; К=3; П=2.
ответ: В доме 2 подъезда, 19 этажей и 3 квартиры на каждом этаже.
Проверка: 2·3·19=114.

Х км/ч - скорость течения реки.
15+х (км/ч) - скорость течения катера по течению реки.
15-х (км/ч) - скорость течения катера против течения реки.
2(15+х) (км) - путь катера в одну сторону за 2 часа по течению реки.
3(15-х) (км) - путь катера обратно за 3 часа против течения реки.
2(15+х)=3(15-х) (км) - путь катера в одну сторону равен пути катера обратно, из условия задачи.
Тогда:
2(15+х)=3(15-х)
2*15+2х=3*15-3х
30+2х=45-3х
2х+3х=45-30
5х=15
х=15/5
х=3 (км/ч) - скорость течения реки.
Проверка:
2(15+3)=2*18=36 (км) - путь катера в одну сторону.
3(15-3)=3*12=36 (км) - путь катера обратно.
36=36
ответ: 3 км/ч.

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔDEX;

∠EDX = 2∠PDM;

∠OPD = ∠DPX; ∠KMD = ∠DME;

Доказать: OP + KM = PM

Доказательство:

Дополнительное построение.

Отложим отрезок РА = РО.

1. Рассмотрим ΔDOP и ΔDPA.

PA = PO (построение);

∠OPD = ∠DPX (условие)

DP - общая.

⇒ ΔDOP = ΔDPA (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠ODP = ∠PDA

2. Пусть ∠ODP = α, а ∠MDX = β.

∠EDX = 2∠PDM (по условию)

⇒ ∠PDM = α + β

∠ODP = ∠PDA = α (п.1)

⇒ ∠ADM = ∠PDM - ∠PDA = α + β - α = β

3. Рассмотрим ΔDAM и ΔDMK.

∠ADM = ∠MDK = β (п.2)

∠KMD = ∠DME (условие)

DM - общая.

⇒ ΔDAM = ΔDMK (по стороне и двум прилежащим углам. 2 признак)

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АМ = МК

4. РМ = РА + АМ или РМ = PO + KM.