Число 517 запишите подряд a) два раза ; б) три раза; в) 4 раза . прочитайте полученные числа и запишите словами

517517 пятьсот семнадцать тыщ пятьсот семнадцать. 517517517
пятьсот семнадцать миллионов пятьсот семнадцать тыщ пятьсот семнадцать. 517517517517 пять сот семнадцать миллиардов пять сот семнадцать миллионов пять сот семнадцать тыщ пятьсот семнадцать

с начало  база индукций , ее  всегда нужно проверять,   просто подставим для начало   
n=3 =>  36 справа слева так же значит верно

теперь 1+2*2*2+3*3*3  итд можно представить ввиде 1^3+2^3+3^3...
как известно это сумма (1+2+3)^2  => то есть ее рекурентно можно записать ввиде  (n+n+1+n+2..)^2 
теперь  при к=1. наша база верна , теперь надо доказать при n=k+1 , то есть индуктивный переход.
n*n(n+1)(n+1)/4 =n^2(n+1)^2/4 

1+2^3+3^3+n^3 =n(n+1)^2/4 

n= k+1 
1+2^3+3^3+n^3...(n+1)^3 = n(n+1)^2/4 + (n+1)^3
слева =>(1+2+3+...n+(n+1))^2= можно представить ввиде арифм прогрессий с d=1
как известно формула такая 
Sn=2a1+d(n-1)/2 *n  =2+1(n-1)/2 *n =  2+n-1/2 * n    = n(n+1)/2
но у нас там квадрат , стало быть 
Sn^2=(n(n+1)/2)^2 = n^2(n+1)^2/4 
чтд

При каких значениях параметра а множеством решений системы из
двух уравнений является числовой отрезок, длина которого равна 4? (x-a 7) (x-1) <= 0, x <= 3
   
{(x-a+7)(x-1)<=0
{x<=3
Рассмотрим первое неравенство
(x-a+7)(x-1)<=0
Значение х в которых левая часть неравенства меняет знаки
x-a+7 =0          x-1=0
 х1=а-7             х=1
Решением первого неравенства является области
если а < 8 [a-7;1]
если a > 8 [1;a-7]
Решением второго неравенства область
(-бесконечн;3]

Пересечением областей первого и второго неравенства
при a<8 является область [a-7;1]
при a>8 является область [1;3]
При a>8 длина отрезка множества решений равна
L=Хкон-Хнач =3-1 =2 не соответствует условию  равнества 4.
Поэтому исследуем числовой отрезок при a<8
1-(a-7) = 4
8-a = 4
a=8-4 = 4
ответ при a=4 длина числового отрезка
множество решений системы равна 4.

Розглянемо перша нерівність
(x-a +7) (x-1) <= 0
Значення х в яких ліва частина нерівності змінює знаки
x-a +7 = 0 x-1 = 0
  х1 = а-7 х = 1
Рішенням першого нерівності є області
якщо а <8 [a-7; 1]
якщо a> 8 [1; a-7]
Рішенням другої нерівності область
(-нескінченність; 3]

Перетином областей першого і другого нерівності
при a <8 є область [a-7; 1]
при a> 8 є область [1; 3]
При a> 8 довжина відрізка безлічі рішень дорівнює
L = Хкон-Хнач = 3-1 = 2 не відповідає умові равнества 4.
Тому досліджуємо числовий відрізок при a <8
1 - (a-7) = 4
8-a = 4
a = 8-4 = 4
Відповідь при a = 4 довжина числового відрізка
безліч рішень системи дорівнює 4