Найти частное решение линейного уравнения первого порядка , удовлетворяющее указанному начальному условию ​

Для начала, заполним 7-литровый бочонок водой, перельем эту воду в 5-литровый бочонок ,и у нас в семилитровом бочонке остается два литра. Теперь выливаем воду из пятилитрового бочонка и наливаем туда два литра из 7-литровой бочки, то есть теперь мы имеем 2 литра. Снова наполняем 7-литровый бочонок, выливаем, что можем в пятилитровый бочонок, это получается три литра, а в семилитровом остается 4 литра. Выливаем из пятилитрового бочонка всю воду и наливаем туда всю оставшуюся воду в семилитровой бочке. Снова наполняем семилитровую бочку, выливаем воду в 5литровую бочку, то есть мы выльем еще один литр в пятилитровый бочонок, а в семилитровом бочонке останется шесть литров.

Пошаговое объяснение:

1. Общее решение однородного уравнения y'' - 6y' + 9y = 0

k^2 - 6k + 9 = 0

(k - 3)^2 = 0

k = 3

y = (ax + b)*e^(3x)

2. Частное решение неоднородного y'' - 6y' + 9y = 9x^2 - 12x + 2

Т.к. k <> 0, ищем y в виде px^2 + qx + r

2p - 6(2px + q) + 9(px^2 + qx + r) = 9x^2 - 12x + 2

9px^2 = 9x^2 -> p = 1

-12px + 9qx = -12x -> q = 0

2p - 6q + 9r = 2 -> r = 0

y = x^2

Общее решение: y = x^2 + (ax + b)*e^(3x)

3. Начальные условия в т. 0

y(0) = b = 1

y'(0) = 2x + 3(ax + b)*e^(3x) + a*e^(3x) = 3b + a = 3

b = 1, a = 0

y = x^2 + e^(3x)