Карандаши раложили в 5 больших т 11 маленьких коробок. всего было 156 карандашей. в большую коробку помещалось на 12 карандашей больше, чем маленькую. сколько карндашей было в большой коробке?

Х карандашей в маленькой
х+12 - в большой
5*(х+12)+11х=156
5х+60+11х=156
16х=156-60
16х=96
х=96:16
х=6 (к) - в маленькой

6+12=18 (к) - в большой

5Х+11У=156
Х=12+у
5(12+у)+11у=156
60+5у+11у=156
16у=96
у=6 карандашей во 2 коробке
х=6+12=18 карандашей в 1 коробке

Задание. Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.
                   Решение:
Из условия нужно доказать, что  делится без остатка на 117 при любом натуральном .
Докажем методом математической индукции.
1) Базис индукции (n=2)
При  получаем , т.е. утверждение справедливо.
2) Допустим, что и при  сумма  делится на 117.
3) Индукционный переход (n=k+1)

По предположению индукции  делится на 117.
Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.

4). У кур - по 2 лапы, у кроликов - по 4.
     x - количество кур, у - количество кроликов
       { 2x + 4y = 32
       { x + y = 11

       { x = 11 - y
       { 2(11 - y) + 4y = 32
        
         22 - 2y + 4y = 32
         2y = 10
           y = 5              x = 11 - 5 = 6

ответ: 6 кур, 5 кроликов.

5).
    (3х²– 6х)(4х + 5) – (2х² – 3х)(6х + 3) – 3(х² – 7х – 2) =
= 12x³ - 24x² + 15x² - 30x - (12x³ - 18x² + 6x² - 9x) - 3x² + 21x + 6 =
= 12x³ - 9x² - 30x - 12x³ + 12x² + 9x - 3x² + 21x + 6 =
= 12x³ - 12x³ - 9x² + 9x² - 30x + 30x + 6 = 6

6). Первое число: 1000a + 100b + 10c + d
     Второе число:  1000d + 100c + 10b + a

 Сумма чисел:

 1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a =
= 1001a + 110b + 110c + 1001d = 11*(91a + 10b + 10c + 91d)

Очевидно, что полученное выражение кратно 11, значит и исходное
выражение кратно 11, что и требовалось доказать.