Упреподавателя есть три любимых каверзных вопроса. в группе 20 студентов. преподаватель решил задавать каждому из студентов по одному из каверзных вопросов. преподаватель решил наудачу по списку выбрать студента, чтобы задать ему первый вопрос, потом опять из всего списка выбрать второго студента, чтобы задать ему второй вопрос, также выбрать третьего студента. преподаватель решил спрашивать только троих студентов, задавая каждому по одному из каверзных вопросов. сколько вариантов опроса в группе есть у преподавателя в каждом из трёх случаев?

Если преподаватель выбирает ровно трех студентов, то одному студенту не достанется сразу несколько каверзных вопросов. Тогда получается такой план действий:
1) Выбираем первого студента 20-ю
2) Из всего списка выбираем второго студента, но не учитываем уже ранее выбранного студента. Это 19 вариантов.
3) Из всего списка выбираем третьего студента, но не учитываем уже выбранных ранее двух студентов.
Таким образом, количество распределить эти три вопроса между тремя студентами из 20 равно 20*19*18=6840. Это число размещений из 20 по 3 (A(20,3)).

Пошаговое объяснение:

Первую книгу можно выбрать семью . В каждом из этих семи случаев вторую книгу можно выбрать шестью . При каждом выбрать первые две книги есть по пять выбрать третью книгу. А теперь заметим, что нам неважно, в каком порядке мы будем покупать книги, а важно только, какие именно книги мы купим. Упорядочить три книги можно шестью (докажите это самостоятельно по аналогии с задачей 5). Поэтому купить три книги в шесть раз меньше, чем упорядоченных наборов из трёх книг. А таких наборов 7·6·5. Поэтому купить три книги будет 7·6·5 : 6 = 35.

Пошаговое объяснение:

Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что ∫d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаем соотношение

Интегрирование по частям

называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

Решение онлайн

Видеоинструкция

С данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.

infinity

∫

pi

1/2*(x+1)*exp(x)

? dx

ДалееТакже рекомендуется изучить сервис вычисление интегралов онлайн

Применение метода интегрирования по частям

В связи с особенностями нахождения определенных величин, формулу интегрирования по частям очень часто используют в следующих задачах:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Формула для нахождения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины включает в себя два сомножителя: функцию полинома от x и плотность распределения f(x).

Разложение в ряд Фурье. При разложении необходимо определять коэффициенты, которые находятся интегрированием от произведения функции f(x) и тригонометрической функции cos(x) или sin(x).

Типовые разложения по частям

Вид интеграла Разложения на части

∫Pn(x)cos(ax)dx, ∫Pn(x)sin(ax)dx, ∫Pn(x)eaxdx, где Pn(x) - некоторый полином (многочлен) степени n U(x)=Pn(x), dV(x)=cos(ax)dx

∫ln(P(x))dx U=ln(P(x)); dV=dx

∫arcsin(ax)dx U=arcsin(ax); dV=dx

U=ln(x); dV=dx/x

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=ex, dV=xdx. Тогда dU=exdx,  и   Вряд ли интеграл ∫x2exdx можно считать проще исходного.

Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла ∫x2sin(x)dx.

Интегралы ∫eaxcos(bx)dx и ∫eaxsin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

ПРИМЕР №1. Вычислить ∫xexdx.

Положим U=x, dV=exdx. Тогда dU=dx, V=ex. Поэтому ∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C.

ПРИМЕР №2. Вычислить ∫xcos(x)dx.

Полагаем U=x, dV=cos(x)dx. Тогда dU=dx, V=sin(x) и ∫xcos(x)dx=xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

ПРИМЕР №3. ∫(3x+4)cos(x)dx