Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел, таких, что произведение любых из них - чётно, а сумма всех 10 чисел - нечётна

Нечетное число - единственное среди 10 чисел, иначе можно найти нечетное произведение. Тогда минимальную сумму дадут:
1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18

Z = x^2 - 2y^2 + 4xy - 6x - 1
Первые частные производные
{ dz/dx = 2x + 4y - 6 = 0
{ dz/dy = -4y + 4x = 0
Получаем
{ x = y
{ 2x + 4x - 6 = 0
x = y = 1
Точка (1, 1) находится внутри заданного треугольника (D)
z(1, 1) = 1 - 2 + 4 - 6 - 1 = -4
Вторые частные производные
{ A = d2z/dx^2 = 2 > 0
{ B = d2z/dxdy = 4
{ C = d2z/dy^2 = -4
Дискриминант
Δ = AC - B^2 = 2(-4) - 4^2 = -8 - 16 = -24 < 0
Вторые производные А, В, С постоянны, поэтому Δ везде < 0,
значит, ни в одной точке нет ни максимума, ни минимума.
Посчитаем значения функции в углах треугольника (D).
z(0, 0) = -1, z(0, 3) = 0 - 2*9 + 0 - 0 - 1 = -19
z(3, 0) = 9 - 0 + 0 - 6*3 - 1 = -10
Минимум (0, 3, -19), максимум (0, 0, -1)

1)Область определения данной функции - все действительные числа, так как данная функция многочлен.
2)Найдем производную данной функции у штрих=4x^3+4x
3) Найдем критические точки, решив уравнение 
4x^3+4x=4
4x(x^2+1)=0
одна критическая точка x=0.
Найдем знаки производной на полученных промежутках.
(-бесконечность;0)- первый промежуток.Возьмем любое значение из данного промежутка и подставим в производную.Например,x=-1.
-4*(1+1)<0.
На втором промежутке (0;+бесконечность) производная будет положительная.
x=1, 4*(1+1)>0.
Итак, одна экстремальная точка x=0,так как производная меняет знак в ней с + на -, то эта точка минимума.
На интервале (-Бесконечности;0) функция убывает, так как производная на этом промежутке отрицательная.  На промежутке (0;+бесконечность производная положительная, поэтому функция на данном промежутке возрастает.