Нужно вставить действия =1507 =32307 =1493 =31693

400/80*300+7=1507
400*80+300+7=32307
400/80*300-7=1493
400*80-300-7=31693

1. Частные производные первого порядка. Пусть функция  определена в области  и . Тогда при малых  определено ее частное приращение по : .

         Определение. Частной производной функции  по переменной   в точке  называют предел

,

если он существует.

         Частную производную по  обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по  и вводятся ее обозначения.

         Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

         Пример. Найти частные производные функции .

 Имеем:

,    . ^

         2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные  и  как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,     

называют частными производными второго порядка функции  по  и по  соответственно, а выражения

,     

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , ,  и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

         Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция  имеет смешанные частные производные  и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

=.

         Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции  не зависят от порядка дифференцирования в точке .

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т.е.2

правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2

2=2 , т.е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6

3) проверяем верность этого равенства для (n+1):

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2+7+14++(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое =  n(2n^2+9n+1)/6  + ( (n+1)^2 +      2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю:  =

=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6

Теперь займёмся правой частью для (n+1):

((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 =  (2n^3+15n^2+25n+12)/6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.