Девять гномов трижды становились по одному в клетки квадрата3 х 3, и каждый раз гномы, оказавшиеся в соседних по стороне клетках, здоровались друг с другом. докажите, что найдутся какие-то два гнома, которые так и не поздоровались

Понятно, что в середине квадрата не могло стоять больше 3 гномов, так что, как минимум, 6 гномов не побывали в середине квадрата и стояли за все время только в боковых клетках). Из этих 6 гномов никакой не должен был стоять два раза в углу (тогда бы он поздоровался только с 2+2+3=7 другими гномами, а должен поздороваться с 8 другими гномами). Тогда каждый из этих гномов стоял, как минимум, два раза на границе квадрата (но не на самых угловых клетках). Всего таких клеток за три раза было 4*3=12. Значит, только эти 6 гномов стояли в этих 12 клетках (так как 6*2 будет ровно 12). Из этого следует, что трое гномов, стоявших в средней клетке в остальные два раза стояли в угловых клетках и не здоровались друг с другом (угловые клетки на соприкасаются друг с другом стороной; если же это был один гном, то остается еще 8 гномов на 12 клеток, и условие задачи опять не выполняется).  Ч. т. д.                

50+65+59+30+49+30+27=310км-весь путь
310/3=103 1/3 км/ч-скорость 

1й насел.пункт
50:310/3=50*3/310=150/310=15/31ч
15/31*60=900/31=29 1/31 минуты≈29мин
7ч+29мин=7ч 29 мин

2й насел.пункт
65:310/3=65*3/310=195/310=39/62ч
39/62*60=39/31*30= 1170/31=37 23/31минуты≈38мин
7ч29мин+38мин=7ч29мин+31мин+7мин=8ч 07 мин

3й насел.пункт
59:310/3=59*3/310=177/310ч
177/310*60=177/31*6= 1062/31=34 8/31≈34мин
8ч 07 мин+34мин=8ч 41 мин

4й насел.пункт
30:310/3=30*3/310=3*3/31=9/31ч
9/31*60=540/31=17 13/31≈17мин
8ч 41 мин+17мин=8ч 58 мин

5й насел.пункт
49:310/3=49*3/310=147/310ч
147/310*60=147/31*6=882/31=28 14/31≈28мин
8ч 58 мин+28мин=8ч 58 мин+2мин+26мин=9ч 26м

6й насел.пункт
30:310/3=30*3/310=3*3/31=9/31ч
9/31*60=540/31=17 13/31≈17мин
9ч 26м+17мин=9ч 43 мин

7й насел.пункт
27:310/3=27*3/310=81/310ч
81/310*60=81/31*6=486/31=15 21/31мин ≈16мин
9ч 43м+16мин=9ч 59 мин≈10ч

Одну минуту потеряли из-за округления до минут.
Можно в 5м пункте минуту добавить

Турист до встречи км. Пусть скорость велосипедиста х км/ч. Тогда до встречи он проехал 1,2 х км, значит, весь путь равен (6 + 1,2х) км. После встречи велосипедист, пока догнал пешехода, проехал 6 + (6 + 1,2х - 20) = (1,2х - 8) км. Значит, затратил времени (1,2x - 8)/x часов. А пешеход после встречи х - 20) км, т. е. его время равно (1,2x - 20)/5 часов.
Уравнение: (1,2x - 8)/x = (1,2x - 20)/5, После упрощения: 3x^2 - 65x + 100 = 0,
x = 1 целая 2/3 - не подходит по смыслу задачи (слишком маленькая для велосипедиста скорость) ; x = 20, т. е. скорость велосипедиста 20 км/ч. Тогда расстояние от А до В:
6 + 1,2х = 6 + 1,2*20 = 30 км