Докажите, что разность четвертых степеней двух натуральных чисел, не кратных 5, делится на 5.

Положим что числа равны a,b тогда по условию получим разность a^4-b^4 требуется доказать то что полученная разность делится на 5 . Так как числа 5 простое , а числа a,b не кратны 5 , значит (a,5)=(b,5)=1 .

По малой теореме Ферма получим что a^4 даёт остаток равный 1 при делении на 5 , аналогично и с b . Тогда a^4-b^4 даёт остаток равный 0 при делении на 5 .

Решить системой? Хорошо. Вот вариант:пусть X - скорость катера, тогда Y - скорость реки. Свяжем их уравнениями: Поясню второе выражение: 2 часа это общее время движения, оно складывалось из времени движения1) вниз (vniz) по течению 2) вверх (vniz) по течению  Решаем. Видно, что можно из первого высказывания взять 16 для второго высказывания. Получим:     Вспоминаем о нашей сисеме. После преобразований (см. выше) получили:Вычитая или складывая почленно правые и левые части уравнений системы получим:2X = 40-2Y = -8, значитХ = 20 км/ч, Y=4 км/ч  

Решить системой? Хорошо. Вот вариант:пусть X - скорость катера, тогда Y - скорость реки. Свяжем их уравнениями: Поясню второе выражение: 2 часа это общее время движения, оно складывалось из времени движения1) вниз (vniz) по течению 2) вверх (vniz) по течению  Решаем. Видно, что можно из первого высказывания взять 16 для второго высказывания. Получим:     Вспоминаем о нашей сисеме. После преобразований (см. выше) получили:Вычитая или складывая почленно правые и левые части уравнений системы получим:2X = 40-2Y = -8, значитХ = 20 км/ч, Y=4 км/ч