Коля с папой, расставшись на перекрёстке, направились по взаимно перпендикулярным дорогам, папа- на велосипеде со скоростью 13 км/ч, коля- на такси со скоростью 84 км/ч. сколько километров будет между ними через 30 минут?

1)13*1/2=13/2 км проедет папа за 30мин или за 1/2 часа
2)84*1/2/42 км проедет папа  1/2 час
Так как они разъехались перпендикулярно друг другу, воспользуемся теоремой  Пифагора. Найдем гипотенузу (их пути -это катеты)
ответ: 42,5 км.

1) Пусть уроков было N. Пусть Петя победил a раз, Коля b раз, Вася c раз.

Пусть Петя пропустил 1 урок, то есть был на N-1 уроке. Тогда:

Петя получил 4a + 1*(N-1-a) = N + 3a - 1 = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет

Из 1 уравнения получаем:

N + 3a = 30, N = 30 - 3a = 3(10 - a), то есть N кратно 3.

Тогда N - 3b и N - 3c тоже были бы кратны 3, но этого нет.

Значит, урок пропустил НЕ Петя.

Пусть урок пропустил Коля. Тогда получится:

Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-1-b) = N + 3b - 1 = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет

Тогда из 2 уравнения N + 3b = 33; N = 33 - 3b = 3(11 - b).

Получаем тоже самое: из 2 уравнения N кратно 3, а из 1 и 3 - нет.

Значит, урок пропустил Вася.

Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.

Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты

Вася получил 4c + 1*(N-1-c) = N + 3c - 1 = 37 конфет

Теперь из 3 уравнения: N = 38 - 3c, N на 3 не делится, все сходится.

Если написать 4 уравнение: a + b + c = N, то получаем систему:

{ N + 3a = 29

{ N + 3b = 32

{ N + 3c = 38

{ a + b + c = N

Но из этой системы получается N = 99/6 = 16,5, что невозможно.

Так что в задаче ошибка, но тем не менее

ответ: урок пропустил Вася.

2) Я не знаю, как это доказать, с геометрией у меня сложности.

3) Это намного проще, чем 1)

494 = 2*13*19 = 13*38

Это число 138.

Пусть ответ на эту задачу #(N). Очевидно, #(1) = 1. Будет удобно считать, что #(0) = 1.

Найдём #(N) при N >= 2. Каждый замостить доску 2xN получается из предыдущих: либо самая правая стоит вертикально, тогда слева нужно замостить доминошками часть доски размером 2x(N - 1) (это можно сделать либо справа стоят две доминошки горизонтально, при этом оставшаяся часть имеет размер 2x(N - 2), и её можно покрыть

Значит, #(N) = #(N - 1) + #(N - 2), при этом #(0) = #(1) = 1. Получились числа Фибоначчи Fib(N). Для них, например, существует формула Бине:
Fib(N) = (ф^N - (-1/ф)^N)/sqrt(5), где ф - золотое сечение.

ответ. #(N) = Fib(N).