Докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n! < =((n+1)/2)^n

Требуется доказать, что для всех натуральных n



1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть  при переходе от  к  увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть  при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что



Упрощая, приводим это неравенство к 

.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство



причем 

Используя бином Ньютона, получаем



Неравенство доказано.

Здравствуйте Эсми2!

ответ к задаче:

На рынке продавали  яблоки на дегустацию.
Серёжа решил купить яблоки для пирога.
В первый день купили 3 корзинки по 12 яблок.
Во второй день купили 2 корзинки по 14 яблок.
На сколько > во второй день Серёжа купил яблок чем в первый?

1 День - 3 корзины по 12 яблок. 
                                                            На ? > яблок.
2 День - 2 корзины по 14 яблок.

1) 12:3=4 (яб.) Купил в 1 день.
2) 14:2=7 (яб.) Купил во 2 день.
3) 7-4=3 (яб.) >.

ответ: На 3 яблока больше Серёжа купил яблок во второй день.

"евгений онегин " - роман, в котором отразился век роман "евгений онегин" занимает центральное место в творчестве пушкина. это его самое крупное художественное произведение, оказавшее наиболее сильное влияние на судьбу всей . роман в стихах "евгений онегин" писался пушкиным около 8 лет. это были годы настоящей творческой зрелости поэта. в 1831 году роман в стихах был окончен и в 1833 году вышел в свет. он охватывает события с 1819 года по 1825 год: от заграничных походов армии после разгрома наполеона до восстания декабристов. это были годы развития общества времени правления царя александра 1. в романе переплетены и современные поэту события.  сюжет романа прост и хорошо известен. в центре романа - любовная интрига. а главной проблемой является вечная проблема чувства и долга. герои романа евгений онегин, татьяна ларина, владимир ленский, ольга составляют две любовные пары. но всем им не дано судьбою стать счастливыми. татьяна сразу полюбила онегина, а он сумел полюбить ее только после глубоких потрясений, происшедших в его охлажденной душе. но, несмотря на то, что они любят друг друга, они не могут стать счастливыми, не могут соединить свою судьбу. и. виноваты в этом не какие-нибудь внешние обстоятельства, а их собственные ошибки, их неумение найти правильный путь в жизни. над глубокими причинам этих ошибок заставляет пушкин размышлять своего читателя. на простую сюжетную линию романа нанизано множество картин, описаний, показано множество живых людей с их различной судьбой, с их чувствами и характерами. у пушкина все это "собранье пестрых глав, полусмешных, полупечальных, простонародных, идеальных" показывало   какова же главная мысль, главная идея "евгения онегина"? она состоит в том, что счастливо могут жить лишь люди мало думающие, мало знающие, у которых нет стремлений к высокому, духовному. люди с чуткой высокой душой обречены на страдания. они либо гибнут, как ленский, либо вынуждены томиться "в бездействии пустом", как онегин, либо молча страдать, как татьяна. пушкин отчетливо показывает, что во всех этих роковых ошибках виноваты не его герои, а та среда, та обстановка, которая сформировала такие характеры, которая сделала несчастными этих по существу или по своим задаткам прекрасных, умных и благородных людей. помещичий, крепостнический строй, непосильный, тяжелый труд крестьян и полное безделье помещиков и господ делали несчастными, коверкали жизнь не только крепостных рабов, но и лучших, наиболее чутких из дворян, помещиков. эти печальные и горькие мысли о тяжелом неблагополучии всего жизненного строя выражены пушкиным в последних грустных строках романа.