Завтра олимпиада по , 10 класс, никогда не писала, что там может быть? может кто-то писал, и у вас есть ? іть будь ласка, завтра олімпіада з , 10 клас, ніколи не писала, що там може бути? може хтось писав, і у вас є завдання? іть будь ласка

Задание 1

( )  Точка  O —  центр  квадрата  ABCD.  Найдите  какие-нибудь  семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках A, B, C, D, О, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.

Решение

Например, подойдёт:

OA+AC+CD+DA+AB+BD+DO=0

Задание 2

( ) Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

ответ. Нет.

Решение. Если требуемое в задаче возможно, то числа, кратные шести, должны разбиться на пары. Так как 800 = 133 ⋅ 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных шести, ровно 133. Противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары.

Замечание. Среди чисел от 1 до 800 остаток 0 при делении на 6 дают 133 числа, остаток 1 — 134 числа, остаток 2 — 134 числа, остаток 3 — 133 числа, остаток 4 — 133  числа,  остаток 5 — 133  числа.  Следовательно,  противоречие  также можно  получить  иначе.  Например,  число,  дающее  остаток 1,  должно  быть в паре с числом, дающим остаток 5. Значит, таких чисел должно быть поровну, что не так.

Задание 3

( )  Участвуя  в  шахматном  турнире,  Вася  сыграл 52  партии.  По старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, ½ очка за ничью и 0 очков за поражение)  он  набрал 35  очков.  Сколько  очков  он  набрал  по  новой  системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)?

ответ. 18 очков.

Решение

Первый Пусть Вася в турнире a раз победил, b раз сыграл вничью и c раз проиграл. Тогда a + b + c = 52, a + b/2 = 35. Нужно найти значение a – c. Из второго  соотношения  следует,  что  b = 70 – 2a.  Тогда  a + (70 – 2a) + c = 52, откуда 70 + c – a = 52, a – c = 18.

Второй При системе подсчёта (1; ½ ; 0) Вася набрал 35 очков,  значит, при системе (2; 1; 0) он наберёт вдвое больше, то есть 70 очков.

При  системе (1; 0; –1)  Вася  теряет  по  одному  очку  в  каждой  партии (по сравнению с системой (2; 1; 0)). Значит, он наберёт 70 – 52 = 18 очков.

Задание 4

( )  На  координатной  плоскости  изображены  графики  функций y= x2+bx+c и y=x2+cx+b.

Найдите значения b и c. В ответе запишите уравнения каждой из функций.

Рисунок к заданию 4

ответ. y = x2+2x-3 и y=x2-3x+2

Решение

Некоторое  число  t  является  корнем  обоих  трёхчленов, поэтому t2+bt+c=t2+ct+b, откуда (b-c)(t-1)=0. Так  как  b≠c (иначе  параболы совпадут),  получаем,  что t =1. Если  парабола y=x2+bx+c пересекает ось абсцисс в точках -3 и 1, то по теореме, обратной Виета

b=-(-3+1)=2, c=-3∙1=-3.

Задание 5

( ) Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.

ответ. 60°.

Решение

Рассмотрим  треугольник  AВС,  в  котором проведены  высоты AA1  и  BB1.  Пусть точка  H — точка пересечения высот, точка  I — центр вписанной окружности.

Сумма углов четырёхугольника A1HB1C равна 360°.

Получаем ∠AHB = ∠A1HB1 = 360° – 90° – 90° – ∠C = 180° – ∠C.

По теореме о  сумме  углов  треугольника  имеем  соотношения ∠A + ∠B + ∠С = 180° (для  треугольника  ABC)  и  ∠A/2 + ∠B /2 +∠AIB=180° (для треугольника ABI). Отсюда

Точки A,  B,  H  и  I  лежат  на  одной  окружности.  Так  как  треугольник  AВС остроугольный,  точки  H  и  I  лежат  по  одну  сторону  от  хорды  AB,  то  есть вписанные углы AIB и АНВ опираются на одну и ту же дугу.Значит, ∠AIB = ∠AHB, откуда 90°+∠C/2=180°-∠C, а значит ∠C = 60°.

Замечание. Если ученик ссылается на результаты пунктов 1 и 2 решения как на общеизвестные, то не снижать.

В целом  верный  ход  решения,  но  упущено  обоснование  того,  что  углы AIB  и  АНВ  опираются  на  одну  и  ту  же  дугу (не  использовано  то,  что треугольник остроугольный), —

В целом  верный  ход  решения,  но  при  решении  уравнения 90°+∠C/2=180°– ∠C  допущена  ошибка  и  получен  неверный  ответ —

Приведены пункты 1 и 2 решения, но дальнейшего продвижения нет или оно ошибочно —

Приведён только  пункт 1  или  только  пункт 2  решения,  но  дальнейшего продвижения нет или оно ошибочно —

Приведён только ответ —

Задание 6

( ) Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое  по  одному  разу)  так,  что  число  на  любой  карточке  начиная  со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое?

ответ. 2.

Решение

Сумма  всех  чисел,  кроме  последнего,  делится  на  последнее  число, значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел от 1 до 37 равна  19 ⋅ 37. Значит, последнее число равно 1, 19 или 37. Так как 1 и 37  стоят на первом и  втором местах, последнее  число — 19. Третье  число — делитель числа 37 + 1 = 38, то есть оно равно 1, 2 или 19. Мы знаем, что числа 1 и 19 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2.

Замечание. Приводить пример, как расположены числа на остальных карточках (или доказывать его существование), не требуется.

Вариант № 44588
1. Найди значение выражения 81 − 32 = 49

2. Найди значение выражения 4 + 6 · (14 + 6) = 124
             1) 14 + 6 = 20
             2) 6 * 20 = 120
             3) 4 + 120 = 124
3. У Марины есть список продуктов, которые ей нужно купить:
Масло — 1 пачка  = 1 * 80 = 80 руб
Сахар — 1,5 кг  = 1,5 * 46 = 69 руб
Яблоки — 2 кг  = 2 *70 = 140 руб
Хлеб белый — 1 батон = 1 * 23 = 23 руб
Сколько сдачи она получит с 500 рублей, если пачка масла стоит 80 рублей, килограмм яблок — 70 рублей, батон хлеба — 23 рубля, а килограмм сахара — 46 рублей?
Запиши решение и ответ. 80 + 69 + 140 + 23 = 312 руб вся покупка
500 - 312 = 262 руб сдача
4.Для украшения зонтика от солнца потребовалась кружевная лента длиной 7 м 44 см. На сколько сантиметров надо укоротить ленту длиной 8 метров, чтобы получить ленту нужной длины?
8 м - 7 м 44 см = 800 см - 744 см = 56 см настолько укоратить
5. На опытном участке выращиваю экспериментальные сорта овощей. В таблице приведены данные о количестве овощей, собранных с июля по сентябрь.
Месяц Овощи
               Огурцы Морковь Помидоры
Июль        13           9              10
Август       35          24            24
Сентябрь  49          31            49

В каком месяце было собрано одинаковое количество огурцов и помидоров?     ответ: в сентябре
6. В течение трёх лет учитель фиксировал количество «пятёрок» за контрольные работы по математике для одной и той же группы детей. Эти данные представлены в таблице.
Месяц            Год
                      2013 год 2014 год 2015 год
Сентябрь        16           14           17
Октябрь           6             4           10
Ноябрь            8             16           5
Декабрь          16             5          18

Сколько всего пятёрок было получено за 2014 год?
14 + 4 + 16 + 5 = 39
7. Найди значение выражения 963 : 3 − (753 − 468) = 36
               1) 753 - 468 = 285
               2) 963 : 3 = 321
               3) 321 - 285 = 36
8. Стандартный прут арматуры имеет длину 11 м 70 см. Требуется разрезать его на длинные и короткие куски длиной 1 м 10 см и 70 см соответственно. При этом длинных кусков должно получиться не меньше шести. Какое наибольшее число коротких кусков может при атом получиться?
Запиши решение и ответ.
1) 11 м 70 см = 1170 см
2) 1 м 10 см = 110 см
3) 110 см * 6 = 660 см надо для длинных
4) 1170 - 660 = 510 см останется
5) 510 : 70 = 7,286 наибольшее может 7 шт получится
9. Вася, Маша, Юля и Петя собирали грибы. Вместе они собрали 82 гриба. Петя собрал 11 грибов, а Маша 23. Больше всего грибов собрала девочка. Кто-то из детей собрал 26 грибов.
Сколько грибов собрал Вася?
1) 11 + 23 + 26 = 60 собрали трое
2) 82 - 60 = 22 гриба собрал Вася
10. Бусы составлены из розовых и фиолетовых бусинок, которые идут в таком порядке: одна розовая, две фиолетовых, три розовых, четыре фиолетовых, пять розовых, шесть фиолетовых и т. д., всего 55 бусинок.
Сколько всего фиолетовых бусинок содержат эти бусы?

11. В «Детском мире» продавали двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Максим пересчитал все рули и все колёса. Получилось 12 рулей и 27 колёс. Сколько трёхколёсных велосипедов продавали в «Детском мире»?
Запиши решение и ответ.
2х колесные = Х
3х колесные = У

х + у = 12           х = 12 - у
2х + 3у = 27       2 * (12 - у) + 3у = 27
                           24 - 2у + 3у = 27
                           у = 27 - 24
                            у = 3 - это трехколесные
х + 3 = 12
х = 12 - 3
х = 9 это двухколесные
ответ: 2х колесные - 9 шт
            3х колесные - 3 шт

Чтобы привести дроби к общему(одинаковому) знаменателю, нужно найти наименьшее число, кратное всем трем дробям, то есть такое число, которое будет делиться без остатка на все три знаменателя. Возьмем для примера дроби под номером 1:
 1/2, 2/3, 3/5 в этом случае подходит число 30. Когда искомое число найдено, нужно числитель увеличить во столько же раз, во сколько увеличился знаменатель:
1×15/2×15( числитель умножаем на 15 и знаменатель умножаем на 15), получаем 15/30. 
Записываем так:
1/2=1×15/2×15=15/30,   2/3=2×10/3×10=20/30,    3/5=3×6/5×6=18/30
С другими примерами так же
2) 1/3=1×21/3×21=21/63,   2/7=2×9/7×9=18/63,    4/9=4×7/9×7=28/63
3)в данном случае нужно сначала сократить дроби
2/6=1/3    2/8=1/4, тогда общим знаменателем будет 12
2/6=2÷2/6÷2=1/3=1×4/3×4=4/12
2/8=2÷2/8÷2=1/4=1×3/4×3=3/12, (5/12 так и останется)
4)11/36=11×2/36×2=22/72,   3/4=3×18/4×18=54/72,  7/72