Найдите стационарные точки функции f(x)=x^3-6x^2+9x-4

Пошаговое объяснение:

Хорошо, давайте найдем стационарные точки для функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4.

Шаг 1: Найдем первую производную функции f(x). Производная функции f(x) показывает, как изменяется функция по мере изменения значения x.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Шаг 2: Посмотрим, когда производная равна нулю, так как это будет указывать на возможное наличие стационарных точек.

3x^2 - 12x + 9 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для нахождения корней.

Используем квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 3, b = -12 и c = 9.

x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4 * 3 * 9)) / (2 * 3)
x = (12 ± √(144 - 108)) / 6
x = (12 ± √36) / 6
x = (12 ± 6) / 6

Таким образом, получаем два значения для x:

x1 = (12 + 6) / 6 = 18 / 6 = 3
x2 = (12 - 6) / 6 = 6 / 6 = 1

Шаг 4: Проверим, являются ли эти значения стационарными точками, т.е. являются ли они точками экстремума.

Для этого найдем вторую производную функции f(x).

f''(x) = 6x - 12

Шаг 5: Подставим найденные значения x1 и x2 во вторую производную.

f''(3) = 6 * 3 - 12 = 18 - 12 = 6
f''(1) = 6 * 1 - 12 = 6 - 12 = -6

Шаг 6: Из анализа второй производной, мы можем сделать следующие выводы:

- Если f''(x) > 0, то x является точкой минимума.
- Если f''(x) < 0, то x является точкой максимума.
- Если f''(x) = 0, то тест не дает достаточной информации.

В нашем случае, f''(3) > 0, а f''(1) < 0.

Это означает, что x = 3 является точкой минимума, а x = 1 является точкой максимума.

Таким образом, стационарные точки функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4:
- Точка минимума: x = 3
- Точка максимума: x = 1

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти стационарные точки функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.