Учительница написала на доске двузначное число и спросила диму по очереди, делится ли оно на 2? на 3? на 4? … на 9? на все восемь вопросов дима ответил верно, причём ответов «да» и «нет» было поровну. а) можете ли вы теперь ответить верно хотя бы на один из вопросов учительницы, не зная самого числа? б) а хотя бы на два вопроса?

А) Да, мы можем ответить верно хотя бы на один вопрос учительницы. Вот как это можно сделать:

У нас есть восемь вопросов, на каждый из которых можно ответить "да" или "нет". Мы знаем, что ответов "да" и "нет" было поровну, то есть по четыре на каждый вопрос.

Рассмотрим вопрос о делении числа на 2. Если число разделилось на 2 без остатка, то ответ "да", иначе ответ "нет". Если Дима правильно ответил на этот вопрос, значит, число должно быть четным.

Теперь рассмотрим вопрос о делении числа на 3. Если сумма цифр числа делится на 3 без остатка, то ответ "да", иначе ответ "нет". Если Дима правильно ответил на этот вопрос, значит, сумма цифр числа должна быть кратна 3.

Таким образом, мы можем ответить верно хотя бы на один из вопросов учительницы, зная лишь информацию о проверке на четность и кратность трём.

Б) Да, мы можем ответить верно хотя бы на два вопроса учительницы. Вот как это можно сделать:

Мы уже знаем, что ответов "да" и "нет" было поровну, поэтому рассмотрим две пары вопросов: деление на 2 и на 4, и деление на 3 и на 9.

Если число делится на 4, то оно автоматически делится и на 2, поэтому если Дима ответил "да" на вопрос о делении на 4, то мы можем быть уверены, что оно делится и на 2. Аналогично, если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Таким образом, зная результаты двух вопросов - о делении на 4 и на 9, - мы можем ответить верно хотя бы на два вопроса учительницы.