Известно, что c и k — натуральные числа и c < k. сравни дроби: c/k k/c.

Умножим обе части на k•c (>0)

Но по условию с < k , значит,

Дробь  несократимая , значит  ее  числитель и знаменатель взаимно простые числа.
Знаменатели  меньше    77  ⇒  разложим число 77 на множители:
 77 = 7 × 11    ⇒    знаменатели дробей 7 и 11.
Пусть числитель первой дроби  х , второй дроби у. 

х/7  +   у/11  = 58/77
(11х+7у)/ 77  = 58/77
11х +7у = 58
Следовательно сумма числителей( c одинаковыми знаменателями)
этих дробей  = 58 .

Если нужна просто сумма (х+у) , то возникает проблема - уравнение одно, а переменных две. ⇒ Метод подбора.
Выразим из уравнения у :
у=  (58 - 11х )/7
Учтем:
х < 7 , у < 11 , если дроби правильные 
х , у ∈ N  -  натуральные числа
при х = 1       ⇒  у = (58-11*1)/7  = 47/7  - не является натуральным числом
при х = 2       ⇒  у= (58 -11*2)/7 = 36/7    -∉N
при х = 3       ⇒  у = (58 - 33)/7  = 25/7    - ∉N
при х = 4       ⇒  у= (58 - 44) /7 = 14/7 = 2    удовл. условию ⇒  х+у= 4+2 = 6
при х= 5        ⇒ у= (58-55)/7= 3/7    - ∉N
при  х = 6      ⇒  у=  (58-66)/7 = -8   - ∉N

объединение числовых промежутков

(-∞; 7) и (6; +∞)                                        (-∞; +∞)

(-∞; -4] и (-5; 2)                                        (-∞; 2)

[-2/3; 10) и [0; 8)                                        [-2/3; 10)

(15цел 1/14; 20] и (0; +∞)                          (0; +∞)