80 : 15 = 100: 24=_( 98: 13=_( 95: 23=_( 100: 15=_( 92: 16=_( 82: 15=_(

80:15=5 остаток 5
98:13=7 остаток 7
100:15=6 остаток 10
82:15=5 остаток 7
100:24=4 остаток 4
95:23=4 остаток 3
92:16=5 остаток 2

ответ:80:15=5(ост 3).100:24=4(ост 16).98:13=7(ост 5...).95:23=4(ост 13...).100:5= 20(ост немає).92:16=5(ост 75).82:15=5(ост 46 ).

3.2. Комплексные числа

Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: .Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – “мнимый”), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.

Из этого равенства находим . Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел. Например,

Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Числа вида – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:

а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.

Решение.

а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;

б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i

(здесь учтено, что i2 = – 1).

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(ab)2 = a2 2ab + b2,

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).

Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая

1) 24*2=48(км) пробежал за 2 часа                                                                    2) 48*5=240(км) проехал на поезде                                                                    3) 48+240=288(км и проехал всего                                                       4) 357-288=69(км) проехал на велосипеде                                                          5) 69:3=23(км/час) скорость зайца на велосипеде                                                 ответ: На велосипеде ехал со скоростью 23(км/час)