Найти функцию, обратную данной

Для нахождения функции, обратной данной, нам необходимо сначала выразить исходную функцию через переменную y, а затем решить полученное уравнение относительно x.

Исходная функция описывается уравнением:

y = 4 arcsin(√(1 - x²))

Мы хотим найти функцию, обратную данной. Обозначим обратную функцию как f^(-1)(y). Тогда, чтобы найти f^(-1)(y), мы должны решить уравнение:

x = f^(-1)(y)

Итак, начнем с исходной функции:

y = 4 arcsin(√(1 - x²))

Чтобы выразить x через y и получить функцию, обратную данной, нужно сначала избавиться от арксинуса. Для этого возьмем sin от обеих сторон уравнения:

sin(y/4) = √(1 - x²)

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

sin²(y/4) = 1 - x²

Теперь выразим x через y:

x² = 1 - sin²(y/4)

Из этого уравнения получаем:

x = ±√(1 - sin²(y/4))

Мы можем принять положительный знак, так как арксинус определен на интервале [-π/2, π/2], и поэтому x будет положительным.

Таким образом, мы получили функцию, обратную исходной:

f^(-1)(y) = √(1 - sin²(y/4))

Это и есть искомая функция, обратная данной.

Обоснование:
Мы выполнили несколько шагов для выражения функции обратной данной. Сначала мы выразили x через y, а затем решали уравнение для x. Мы использовали свойства тригонометрических функций, чтобы перейти от arcsin к sin и избавиться от квадратного корня. Получившийся результат является функцией, обратной данной, так как при подстановке значения y в функцию f^(-1)(y), она дает нам соответствующее значение x.