В марте рабочие установили 400 пластиковых рам, а в апреле -436. На сколько процентов больше установили пластиковых рам рабочие в апреле по сравнению с мартом?

1) Находим длины рёбер пирамиды.

|AB|=√(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²) = √((−3−1)²+(−2−1)²+(−6−7)²) = √((−4)²+(−3)²+(−13)²) = √(16+9+169) = √194 ≈ 13,928.

|AC| = √((xC−xA)²+(yC−yA)²+(zC−zA)²) = √((3−1)²+(−4−1)²+(−2−7)²) = √(2²+(−5)²+(−9)²) = √(4+25+81) = √110 ≈ 10,488.

|BC| = √((xC−xB)²+(yC−yB)²+(zC−zB)²) = √((3−(−3))²+(−4−(−2))²+(−2−(−6))²) = √(6²+(−2)²+4²) = √(36+4+16) = √56 =2√14 ≈ 7,483.

Угол между ребрами AB и AC находим по по теореме косинусов:

∠(AB,AC) = arccos((|AB|²+|AC|²−|BC|²)/(2|AB|⋅|AC|)) = =arccos((194+110−56)/(2⋅√194*√110)) = arccos(248/2 13,928388*10,488088) = arccos0,8488373 = 0,557014 радиан  =  31,914563 градусов.

Решение этой же задачи векторным

Составим направляющие векторы рёбер:

AB = {xab;yab;zab}={xB−xA;yB−yA;zB−zA}={−3−1;−2−1;−6−7}={−4;−3;−13},

AC = {xac;yac;zac}={xC−xA;yC−yA;zC−zA}={3−1;−4−1;−2−7}={2;−5;−9}.

Модули определены выше: |AB| = √194  |AC| = √110.

Скалярное произведение равно:

АВ х АС = (-4)*2 + (-3)*(-5) + (-13)*(-9) = -8 + 15 + 117 = 124.

cos(АВ х АС) = 124/(√194*√110) = 0,8488373.

Угол равен 31,914563 градусов.

2)  Площадь грани ABC определяем как половину модуля векторного произведения АВ х АС.

Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив данные, получаем АВ х АС = x y z

                                                                     -38  -62 26 .

Модуль равен √((-38)² + (-62)² + 26²) = √(1444 + 3844 + 676 ) = √5964 .

Площадь грани АВС равна (1/2)√5964 ≈ 38,613469 кв.ед.

3) Проекция AB на CД. Вектор АВ равен {−4;−3;−13} (определён ранее).

Вектор СД равен {xD-xC, yD-yC, zD-zC} = (-3; 3; 4).

Модуль СД равен √34 ≈ 5,8309519.  

Решение:  Пр ba =  a · b /|b| .

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-4) · (-3) + (-3) · 3 + (-13) · 4 = 12 - 9 - 52 = -49 .

Найдем модуль вектора:

|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √(-3)2 + 32 + 42 = √9 + 9 + 16 = √34

Пр ba = -49√34  ≈ -8,4034307.

4) Объем V пирамиды ABCД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; -2; -5).

Модуль равен √30 ≈ 5,477225.

                 x   y    z  

AB*AC -38 -62 26  

      AD -1 -2 -5  

Произведение 38 + 124 - 130 =  32.

V = (1/6) * 32 = 5,3333 куб.ед.

6) Уравнение высоты ДО пирамиды ABCД.

Эта высота - нормальный вектор плоскости АВС через точку Д.

Он будет являться направляющим вектором искомой прямой. Тогда её уравнение в каноническом виде запишется так.  

(x-Дx)/A=(y-Дy)/B=(z-Дz)/C.

АВ х АС = (-38;  -62;  26) .   Д ( 0; -1; 2 )

Получаем уравнение ДО: x/(-38) = (y + 2)/(-62) = (z - 2)/26.

     

Пошаговое объяснение:

1)

207 : 8 = 25 7/8 л/мин воды проходит через первую трубу

155 : 6 = 25 5/6 л/мин воды проходит через вторую трубу

25 7/8 - 25 5/6 = 25 21/24 - 25 20/24 = 1/24 л/мин воды на столько больше пропускная первой трубы

2)

75 : 5/8 = 75 * 8/5 = 15 * 8 = 120 страниц в книге

3)

x + x+36 = 200

2x = 200 - 36

2x = 164

x = 164 : 2

x = 82 книги по математике привезли в библиотеку

4)

3/17 + 8/51 + 1/6 = 18/102 + 16/102 + 17/102 = 51/102 = 1/2часть всего пути проехал за три дня

1 - 1/2 = 1/2 часть пути осталось проехать

204 : 1/2 = 204 * 2/1 = 408 верст от Тихвина до Рыбинска