З точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, проведено дві похилі довжиною 13см. і 20 см. Відстань між основами похилих становить 19 см. Обчислити кут між проекціями цих похилих.

Задача: Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от плоскости, проведены две наклонные длиной 13 см и 20 см. Расстояние между основаниями наклонных составляет 19 см. Вычислить угол между проекциями этих наклонных.

Обозначим плоскость как γ, перпендикуляр из точки к плоскости как AB, наклонные как BD и DC, тогда AD и AC — проекции наклонных, отрезок CD — расстояние между основами наклонных, угол α — угол между проекциями наклонных.

ΔBDA и ΔBCA — прямые, т.к перпендикулярны к плоскости (AB⊥γ).

Вычислим AD за т. Пифагора:

   

Вычислим AC за т. Пифагора:

   

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла (α) тр-ка по 3-м сторонам:    

   

ответ: Угол между проекциями наклонных равен 120°.

Найдем производную функции у=х^3+х^2-х-р, у'=3х^2+2х-1. В точках, в которых производная равна нулю, функция имеет точки перегиба. Решив 3х^2+2х-1=0 находим х1=-1, х2=1/3. На промежутке х<-1 и х>1/3 функция возрастает (производная больше нуля), при -1<х<1/3 функция убывает (производная меньше нуля). В точках перегиба функция имеет значения (1-р) при х=-1 и (5/27-р) при х=1/3. Корни уравнения х^3+х^2-х=р это х, при которых функция у=х^3+х^2-х-р пересекает ось Ох. Учитывая характер функции (возрастает-убывает-возрастает) и рассмотрев схематичный график (точки перегиба и значения в них см выше, рисовать удобно при р=0) видим, что может быть 1, 2 или 3 точки пересечения. Если в точках перегиба значение функции равно нулю, то есть р=1 или р=5/27, то корней по два. Если р>1 или р<5/27, то корень один. Если 5/27<р<1, то корней три. ответ: при р<5/27 корней 1, при р=5/27 корней 2, при 5/27<р<1 корней 3, при р=1 корней 2, при р>1 корень 1.

1) а) 2 и 5             10
Б) 6 и 5                 30
в) 7 и 3                 21
г) 2 и 9                 18

2)а) 3 и 6              12
б) 5 и 15                15
в) 4 и 12                12
г) 16 и 8                 16

3) а) 6 и 4               12
б) 25 и 10                50
в) 9 и 15                 45
г) 12 и 20                60


1) а) 2                        2,4,6,8
б) 3                            3,6,9,12
в) 2 и 3                       6,12,18,24
2) а) 3 и 5                  15,30,45,60
б) 3 и 4                       12,24,36,48
в) 4 и 5                       20,40,60,80
г) 5 и 6                       30,60,90,120