1) Материальная точка движется по прямой. Уравнение скорости ее движения V(t)=3t^2+12t. Найдите путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения.

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь вам решить эту задачу.

У нас есть уравнение скорости движения материальной точки:
V(t) = 3t^2 + 12t,

где V(t) - скорость точки в момент времени t.

В задаче нас просят найти путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения. Путь обычно обозначается буквой S.

Чтобы найти путь, пройденный точкой, мы можем воспользоваться определением пути через скорость. Путь равен интегралу от скорости по времени:

S(t) = ∫ V(t) dt,

где S(t) - путь точки в момент времени t.

Так как у нас дано уравнение скорости V(t), мы можем интегрировать это уравнение, чтобы найти уравнение пути S(t). Интегрирование возьмет весьма сложную формулу:

S(t) = ∫ (3t^2 + 12t) dt.

Убедитесь, что вы знаете правила интегрирования и методы интегрирования, чтобы было легче понять следующие шаги. Для данной задачи мы можем разбить интеграл на два слагаемых:

S(t) = ∫ 3t^2 dt + ∫ 12t dt.

Первое слагаемое можно интегрировать следующим образом:

∫ 3t^2 dt = 3 * (∫ t^2 dt),

и в этом случае нам понадобится знание простой формулы для интегрирования степенной функции t^n.

∫ t^n dt = (t^(n+1))/(n+1) + C,

где C - постоянная интегрирования.

В нашем случае n = 2, поэтому:

∫ t^2 dt = (t^(2+1))/(2+1) + C = (t^3)/3 + C1.

Ответ на первую часть интеграла:

∫ 3t^2 dt = 3 * (∫ t^2 dt) = 3 * ((t^3)/3 + C1) = t^3 + C1.

Перейдем ко второй части интеграла:

∫ 12t dt = 12 * (∫ t dt),

и здесь нам понадобится знание формулы для интегрирования линейной функции t.

∫ t dt = (t^2)/2 + C,

где C - постоянная интегрирования.

Ответ на вторую часть интеграла:

∫ 12t dt = 12 * ((t^2)/2 + C) = 6t^2 + C2.

Теперь вернемся к исходному уравнению пути:

S(t) = ∫ (3t^2 + 12t) dt.

Подставим найденные значения интегралов в это уравнение:

S(t) = t^3 + C1 + 6t^2 + C2.

Объединим постоянные C1 и C2 в одну общую постоянную С:

S(t) = t^3 + 6t^2 + C.

Ответом на задачу будет значение пути точки через 2 секунды от начала движения. Подставим значение t = 2 в уравнение S(t):

S(2) = 2^3 + 6 * 2^2 + C.

Вычислим значение пути S(2):

S(2) = 8 + 24 + C = 32 + C.

Таким образом, путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения, равен 32 + C.

Так как мы не знаем конкретное значение постоянной C, мы не можем найти точное значение пути. Однако мы можем сказать, что путь точки будет равен 32 + C единицам измерения пути.

Я надеюсь, что мой ответ был подробным и обстоятельным, с обоснованием и пошаговым решением. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Желаю вам успехов в изучении физики!