Задачи по теме « Равнобедренный треугольник» 1. В треугольнике АВС углы ВАС и ВСА равны, их биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный. 2. Найдите периметр треугольника АВС если два его угла равны, а две стороны имеют длины 40 см и 20см. 3. В треугольнике АВС угол В=1200 , а угол А= 300 . Точка D принадлежит стороне АС, причем угол ВDС тупой. Докажите, что АВ >ВD. 4.Разность длин двух сторон равнобедренного тупоугольного треугольника равна 4 см, а его периметр равен 19 см.Найдите длины сторон треугольника. 5. В равнобедренном треугольнике АВС угол В - тупой. Высота ВD равна 4 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 12 см. 6.В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы ВD , если периметр треугольника АВС равен 72 см, а периметр треугольника АВD равен 48 см. Задачи по теме « Признаки равенства треугольников» 1. На высоте АН равнобедренного треугольника с углом А=90 взята точка О. Докажите, что треугольники ВОН и НОС равны. 2. В треугольнике КМР КМ=МР. Точки А и В середины сторон KM и MP соответственно. АС и ВD перпендикулярны прямой КР. Докажите, что треугольники КАС и DВР равны. 3. Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1 точки О и О1 – точки пересечения высот этих треугольников, причем ОА= О1А1 . Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны. 4. Треугольник АВС равносторонний. AC – основание. Точки К , L , М- середины сторон АВ , ВС и АС соответственно . Докажите, что треугольники АКМ и МLC равны. 5. Даны треугольники АВС , с высотой СН , и KMN с высотой NL . Причем , угол В=60, угол М=60, СН=LN и АВ=KM. Докажите , что треугольники АВС и KMN равны. 6. В равнобедренном треугольнике АВС ВК – медиана, проведенная к основанию. Точки М и N принадлежат боковым сторонам. Луч КВ – биссектриса угла МКN . Докажите, что АМ=NC. Задачи по теме « Окружность» 1. В окружности с центром О проведены радиусы ОК , ОМ , ОN , таким образом , что углы КОМ и МОN равны. Докажите , что треугольники КОМ и МОN равны. 2. В окружности с центром О диаметру АС перпендикулярен радиус ОВ. Докажите, что АВ=ВС. 3. В окружности с центром О проведены две непараллельные хорды КМ и РN , причем КМ= РN. Точка А – середина КМ, точка В – середина Р N . Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный. Задачи по теме «Смежные и вертикальные углы» 1. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равен 48 .Найти остальные углы. 2. Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки К и М соответственно. Угол КВМ=300 Угол А в 3 раза больше угла С. Найти угол, смежный с углом С. 3. На окружности с центром О последовательно отмечены точки А, В, С, D, К так, что точки А и К являются концами диаметра, углы АОС и СОК равны. Угол АОВ= 30 , угол DОК=60 . Докажите, что ВD=АС. Задачи по теме «Параллельные прямые» 1. Отрезки KM и PL –диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые KP и ML параллельны. 2. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD . Известно, что АВ параллельна DC и AD параллельна ВС. Докажите, что угол BAD равен углу DCB, АВ=DC и AD= BC. 3. На биссектрисе CD равнобедренного треугольника АВС взята точка М. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АС и ВС и пересекающие основание АВ в точках Н и К. Докажите, что АН=КВ. 4. На сторонах MP и PN треугольника MPN взяты точки А и В соответственно. Угол PMN равен углу РАВ и равен 60, угол MNP равен 50. Найдите, чему равен угол АВN. 5. В треугольнике АВС угол А равен 30, угол С равен 120. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ. 6. На одной стороне неразвернутого угла взяты точки E и F, на другой – G и H , так, чтобы EG параллельно FH , точка М принадлежит отрезку EG , угол MFE равен углу MFH, угол MHF равен MHG. Докажите, что EG= EF+GH.