Ось симметрии прямоугольника abcd пересекает его стороны bc и ad в точках m и k соответственно.на стороне ab взята точка p, на стороне cd-точка t, причём pm||kt, pm=pk.a)определите вид выпуклого четырёхугольника pmtk.б)докажите что расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника pmtk до точки c равно pk.

  мк - ось симметрии, ⇒ все точки ав и сd находятся от неё на равном расстоянии. вм=см=ак=dk.

а) диагонали   прямоугольника ас=вd     и точкой пересечения о делятся пополам ( свойство диагоналей прямоугольника).

отрезки   вм=ак, а рм=рк по условию⇒   ∆ мвр = ∆ кар   по катету и гипотенузе.   вр=ар, а ∆ мрк - равнобедренный, мо=ок. в ∆ авс. отрезок рм - средняя линия и параллелен диагонали ас. в ∆ асd ак=кd, кт║рм по условию. если одна из двух   параллельных прямых параллельна третьей, то и вторая ей параллельна. ⇒   кт║ас – средняя линия ∆ adc. кт=ас: 2=рм.   так как   кт - средняя линия ∆ асd, то, точка т - середина сd, из чего следует мт - средняя линия ∆ всd.   мт и рк равны половине вd, следовательно, равны между собой. стороны четырехугольника крмт равны, следовательно, рмтк - ромб.

б) вершины рмтк - середины сторон прямоугольника, его диагонали рт и мк пересекаются под прямым углом и делят исходный прямоугольник на четыре равных меньшего размера. диагонали этих меньших прямоугольников равны. ⇒ рк=ао=ос, что и требовалось доказать.

дано: дана трапеция abcd,где вс-меньшее основание и оно равно 6см,высота(h)равна 4см,угол а равен 45 градусам,найти площадь(s)abcd.решение: 1.опустим высоту к аd и обозначем ее как bм.2.рассмотрим треуголник аbм-прямоугольный,угол  bма равен 90 градусов,угол  маb равен 45 градусов,угол abm равен 90- 45равно 45,значит треуголник  abm равнобедренный,ам-4 см,опустим вторую высоту сn равен nd равно четырем .bc равен mn и равно 6,от сюда следует,что аdравен4+6+4равно14,и площадь  abcd равно 14+6/2*4 равно 40.

соотношения между сторонами и углами треугольника. неравенство треугольника

теорема 1. в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

доказательство. пусть в треугольнике abc сторона ав больше стороны ас  

докажем, что ∠ с > ∠ в. отложим на стороне ав отрезок ad, равный стороне ас (рис.1, б). так как ad < ав, то точка d лежит между точками а и в. следовательно, угол 1 является частью угла с и, значит, ∠ c > ∠ 1. угол 2 — внешний угол треугольника bdc, поэтому z 2 > z в. углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника adc. таким образом, ∠ с > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ b. отсюда следует, что ∠ с > ∠ в.

справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

теорема 2. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

из теоремы 1 вытекает

следствие 1. если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

доказательство следствия проводится методом от противного.

из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

из теоремы 2 получаем

следствие 3. в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

с использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

теорема 3. каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

следствие 4. для любых трех точек а, в и с, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:  

ав < ас + св, ас < ав + вс, вс < ва + ас.

каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.