Четырёхугольник abcd- параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке о, точка f- середина стороны ab. докажите, что четырёхугольник afod- трапеция.

диагонили параллелограмма точкой пересечения делятся пополам значит bo= od  тогда в треугольнике abd fo средняя линия, а по определению средняя линяя треугольника параллельна его тоснованию, значит (fo) параллельна (ad)  у четырехугольника afod 2 противоположные стороны равны, значит по опр-ию это трапеция, ч.т.д.

Продолжим отрезок ba за точку a и отложим на нем отрезок ae  =  ad. заметим, что   ∠  eac  =  180  –    ∠  bac  =  180  –  3  ∠  c, поэтому треугольники adc и aec равны (по сторонам ac, ad  =  ae и углу между ними). отсюда находим углы треугольника aec:   ∠  aec  =    ∠  adc  =  2  ∠  c,   ∠  ace  =    ∠  c, т.е.   ∠  bce  =  2  ∠  c, поэтому треугольник bec равнобедренный. таким образом, ab  +  ad  =  ab  +  ae  =  be  =  bc

Построим высоту сн к стороне ав.  в прямоугольном треугольнике свн угол в = 45 градусов (по условию), тогда угол всн = 90 - 45 = 45 градусов => треугольник равнобедренный, вн = сн. известно, что  вс = 6,  пусть ан = вн =  х,  тогда по теореме пифагора вс^2 = вн^2 + сн^2 36 = х^2 + x^2;   36 = 2x^2; x^2 = 18; х = корень из 18;   треугольник анс - прямоугольный.  угол а = 60 градусов (по условию), тогда  угол нса = 90 - 60 = 30 градусов. пусть ас = 2х, тогда ан = х (так как катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен 1/2 гипотенузы). по теореме пифагора ас^2 = ан^2 + нс^2 4х^2 = 18  + х^2;   4х^2 -  х^2 = 18; 3х^2  = 18; х^2  = 6; х = корень из 6;   тогда ас = 2х = 2 корня из 6 ответ: 2  корня из 6