Через точку м вне окружности проведены касательная ma и mb , и через точку c на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки ma и mb в точках k и l соответственно (рис19.12докажите что периметр треугольника klm не зависит от положения точки c

Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL
По условию KL  = KC + LC 
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда 
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL  = KC + LC  = KA + LB 
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML +  KA + LB = 
= MK +  KA + ML  + LB 
Очевидно что
MK +  KA = MA 
ML  + LB = MB 
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB 
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.

Задача 1
Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О. 
Опустим из вершины В медиану ВН на АС.
Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС. 
АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны. 
ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2 
Высота ВН=3АС/2 
S=h*a:2 
а=АС 
h=BН=3АС/2=3а/2 
S=(3а/2)*а:2 
S=3а²/4 
а²=4S/3 
а=√(4S/3)=2√(S/3
)-------------------------
Задача 2.
Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
 LK, KN и дуги LN.
------------------
Соединим L, M и N. Треугольник   LMN -  прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр.  
LК   в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN. 
MN=2r=6*2=12.
Тогда МК=2, КN=10
LK²=MK*KN-2*10=20
 LK=√20=2√5
Центр вписанной в угол окружности лежит на  биссектрисе.
 Биссектриса  угла LKN  делит прямой угол LKN на два по 45° 
Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т. 
Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT, 
а NL - биссектриса угла KNT.  
Точка О  пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны. 
ОЕ⊥KN. 
ОТ⊥NT 
ОЕ=ОТ=r 
 Угол KTN=90° 
Так как угол ТКN равен 45°,  прямоугольный треугольник KTN-  равнобедренный. ТН ⊥ MN -  высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника
КН=НN=ТН=10:2=5 
КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2 
Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны. 
КТ:KО=TH:OE 
ОЕ=ОТ=r 
KO= КТ-ОТ=5√2-r 
5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
 5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5: 
√2 r=5√2 -r 
√2 r+r=5√2 
 r*(√2 +1)=5√2     ...Домножим числитель  и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1)
r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93

1. в треугольнике АВС проведены биссектрисы AN и BL которые пересекаются в точке о. угол АОВ равен 98градусов. найдите внешний угол при вершине С. ответ дайте в градусах.

2. в треугольнике АВС проведены высоты AH и BK которые пересекаются в точке О. угол АОВ равен 104 градуса. найдите угол С.ответ дайте в градусах.

3.Один из углов параллелограмма равен 31градус. найдите больший из углов параллелограмма.ответ дайте в градусах.

№1. в тр-ке AOB: угол BAO+ угол ABO = 180-98 = 82
в тр-ке ABC: угол A+ угол B = 82*2 = 164 (т.к. AN и BL бисс углов A и B)
внешний угол равен сумме двух углов не смежных с ним ⇒  внеш угол С = 164№2. Аналогично, внешний угол С=152.  №3. См. приложение. Углы АВС и ВАD односторонние. А сумма односторонних углов в параллелограмме равна 180'Следовательно, угол АВС=180'-31'=149'.ответ: угол АВС=149'