Выполните сложение или вычитание дробей: +

(3с + 5d)/5*7*cd +   (c-3d)/3*7*cd = 3(3c-5d)/5*7*3*cd   + 5(c-3d)/ 3*7*5*cd =  (9c - 15d +5c -15d)/ 3*5*7*cd = 14c/15*7*cd = 2c/15cd = 2/15d.

1) _ 4а² - 20а + 25 | 2а-5           4a² - 10а           2а-5                     _ -10а + 25                 -10а + 25                                           0 проверка. 4а²-20а+25=(2а-5)(2а-5) 4а²-20а+25=4а²-20а+25 - верно 2) _ 4а² - 11а - 3 | а - 3           4a² - 12а       4а + 1                         _ а - 3                     а - 3                                         0 проверка. 4а² - 11а  - 3 = (а - 3)(4а + 1) 4а² - 11а  - 3 = 4а² - 12а + а - 3   4а² - 11а  - 3 =  4а² - 11а  - 3    - верно

подобно на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. не одну тысячу лет к ним приковано внимание – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. евклид и эратосфен, эйлер и гаусс, рамануджан и харди, чебышёв и этот перечень учёных занимавшихся простыми числами и с ними связанными можно продолжать и продолжать.

на страницах нашего сайта уже шла речь о  бесконечности ряда простых чисел  и некоторых смежных вопросах. при этом нас интересовали все простые числа сразу. иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее. 

простые числа-близнецы

два простых числа, которые отличаются на 2, как

5   и   7,

11   и   13,

17   и   19,

получили образное название  близнецы  (эти числа называют ещё  парными  простыми числами). любопытно, что в натуральном ряду имеется даже  тройня  простых чисел – это числа

3,   5,   7.

ну а сколько всего существует близнецов – современной неизвестно.

числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето эратосфена. если для каждого вычеркнутого способом эратосфена числа  n  вычеркнуть так же число  n  – 2, то в таблице останутся лишь такие числа  р, для которых число  р  + 2 тоже простое. в пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:

3   и   5,

5   и   7,

11   и   13,

17   и   19,

29   и   31,

41   и   43,

59   и   61,

71   и   73.

с парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в  таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.

вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:

все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n  ± 1; при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, следующие пары остатков:

11   и   13,

17   и   19,

29   и   1;

по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше.  так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.

предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано.  исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. на данный момент рекордсменами считаются близнецы

3756801695685  · 2666669  ± 1,

которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта  primegrid. для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр. 

 

простые числа-триплеты

это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –

2, 3, 5   и   3, 5, 7.

данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. обобщённо: последовательность простых чисел

p,  p+2,  p+6   или   p,  p+4,  p+6

называется  триплетом. 

простые числа-триплеты в пределах первой сотни:

  5,   7, 11;

  7, 11, 13;

11, 13, 17;

13, 17, 19;

17, 19, 23;

37, 41, 43;

41, 43, 47;

67, 71, 73.