Решите уравнение 6x-(2x-5)=2(2x+4)

6х-2х+5=4х+8

4х-4х=3

0х=3

уравнение не имеет решений

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое  интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя :

– Подведение функции под знак дифференциала;

– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию  под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически  и  – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ?  Почему так, а не иначе?

Формула  (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент  и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить  и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле  множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Найти неопределенный интеграл.

:

Объяснение:

А1)3^4=81 2)1/3*81=27 3)2*0,12=0,24 4)27-0,24=26,76 5)(0,1)²=0,01 6)0,13+0,01=0,14 7)26,76: 0,14=2676: 14=191 1/7 8)191 1/7: 3=1338/7*1/3=1338/21=63 15/21=63 5/7 б 1)(7/5)³=343/125 2)25²=625 3)343/125*625=343*5=1715 4)11: 2=5,5 5)1715-5,5=1709,5 6)1709,5*1000=1709500 в 1)2^10: 2^4=2^6=64 2)3^5: 3^2=3³=27 3)64+27=91 4)91-11=80 5)(0,2)³=0,008 6)80*0,008=0,64 г 1)5/6+7/8=(20+21)/24=41/24 2)5/6-7/8=(20-21)/24=-1/24 3)3^4=81 4)41/24*81=41*27/8=1107/8 5)4³=64 6)-1/24*64=-8/3 7)1107/8+8/3=(3321+64)/24=3385/24 /5)³=-27/125 9)3385/24: (-27/125)=-(3385*125)/(24*27)=-423125/648=-652 629/648