При каком натуральном значении n выполняется равенство: (2^n-1)(4^n+2^n+1)=511

б

чтобы ответить на этот вопрос, нужно представить эти числа в одном виде. логичнее всего - в виде подкоренного выражения.

а)

очевидно, что это выражение не имеет никакого смысла, поскольку 66² и 68² много больше 67.

б)

верное равенство. корень из 67 лежит между этими числами.

в)

хоть √67 и больше √49, но не меньше √64.

г)

аналогично предыдущему примеру - √67 не лежит между данными числами.

1: по свойству интеграла, можем расписать:   ∫4x^3dx -   ∫2dx +   ∫cos2xdx ; ответ: x^4-2x + sin2x/2 + c

∫cos2xdx =   {t = 2x; t' = 2}(подставить дифференциал, использую dx=1/t' *dt) =   ∫cost/2dt =   1/2∫costdt = 1/2*sint = sin2x/2(взяли замену 2х за t и возвращаем назад)

2:   здесь использую интегрирование по частям:   ∫u dv   = uv - ∫v du, отсюда замену возьмем {u =4x+5; dv=cos4x dx}; нужно найти дифференциал du, используя du = u' d, а v вычисляем с v =   ∫1dv и подставить du = 4dx и v = sin4x/4; получаем: (4x+5)*(sin4x/4)- ∫(sin4x/4)*4dx; ∫sin4x/4dx = {t = 4x; t' =4} = ∫sin4x * 1/4 dt = ∫sint/4 dt (также, как и впервой с cos);

(4x+5)*(sin4x/4) - 1/4∫sin(t)dt; (4x+5)*(sin4x/4)-1/4*(-cos(t)); делаем возврат t на 4х;   ответ: ((4x+5)*sin(4x)+cos(4x))/4 + c

3: делаю замену {t = cosx; t' =-sinx} = -∫t^5 dt (подставить дифференциал, использую dx=1/t' *dt) = -t^6/6 + c, делаю возврат t = cosx   и ответ будет -(cos^6(x)/6) + c