Дан числовой набор из 9-ти чисел .дан числовой набор из 9-ти чисел . среднее арифметическое набора 5-ть . из набора удалили одно число , и среднее арифметическое стало равно 6-ти . а) какое число удалили ? б) если все числа нового набора увеличить на 2 , а потом умножить на 3 , чему станет равно среднее арифметическое полученного набора ?

Надо доказать, что всегда найдется хотя бы одна четверка рядом  сидящих детей вида (мдмд), (ммдд), (дмдм) или (ддмм). ("м" - мальчик, "д" - девочка). разобьем всех детей на пары рядом сидящих. получится 50 пар. пусть общее количество пар вида (мд) и (дм) равно k, тогда количество пар (мм) равно (50-k)/2. количество пар (дд) также равно (50-k)/2 (что, кстати, означает, что k - четное). рассмотрим все возможные случаи. 1) если на круге вообще не оказалось пар (мм), и соответственно, пар (дд), то все пары должны быть вида (мд) или (дм), но, как легко видеть, любые 3 таких соседних пары содержат нужную четверку из условия. 2)на круге есть пары (мм), и обязательно столько же пар (дд). тогда обязательно есть пара (мм) и пара (дд), между которыми, если и есть какие-то другие пары, то только разнополые вида (мд) или (дм). тогда: а) если между (мм) и (дд) вообще нет никаких пар, т.е. имеем четверку (ммдд) или (ддмм) и они удовлетворяют условию. б) если между (мм) и (дд) только одна пара (мд) или (дм), то, получается шестерка () или (ммдмдд). очевидно, в такой шестерке есть нужная четверка из условия. в) если между (мм) и (дд) находятся две разнополые пары, то, в случае, если это одинаковые пары  (мд)(мд) или (дм)(дм), то они и нужную четверку.  если же разные - (мд)(дм) или (дм)(мд), то получается восьмерка () или которая также содержит нужную четверку из условия. г) если между (мм) и (дд) находится 3 или больше разнополых, то как и в пункте 1), в них обязательно есть нужная четверка.

Х(км/ч) -   собственная  скорость моторной лодки у (км/ч) - собственная скорость катера х+3   (км/ч) - скорость лодки по течению (обратный путь) у+3   (км/ч) - скорость катера по течению (обратный путь) х-3 (км/ч) - скорость лодки против течения (путь до острова) у-3 (км/ч) - скорость катера против течения (путь до острова) 35 мин = 35/60 ч = 7/12 ч   21   (ч) - время движения лодки по течению,  на обратном пути   х+3   21   (ч) - время движения лодки против течения (путь до острова)     х-3   21   (ч) - время движения катера по течению, на обратном пути у+3   21   (ч) - время движения катера против течения (путь до острова) у-3   21   = 7   х+3   12 7(х+3)=21*12 7х+21=252 7х=252-21 7х=231 х=231 : 7 х=33 (км/ч) - собственная скорость моторной лодки   21   = 2 * 21   у-3         х-3   21 = 42  у-3   33-3   21   = 42   у-3     30   21   =1,4   у-3 у-3=21 : 1,4 у-3=15 у=18 (км/ч) - собственная скорость катера   21 =     21   = 1 (ч) = 60 мин - время движения катера на обратном пути у+3   18+3 60 мин - 35 мин = 25 мин - на столько минут раньше катеру нужно выйти в                                             обратный путь. ответ:   на  25 мин.