)докажите, что если a + b = 1, то a4 + b4 > 1/8

Рассмотрим   2 варианта.  1) 1   число   отрицательно   другое положительно. в   этом   случае   хотя   бы 1 из чисел   по   модулю   больше единици. тк   в противном   случае сумма   всегда будет меньше 1. но   тогда   либо a^4 > 1   либо b^4> 1 тк   знак числа   уходит. то   и верно   что   a^4+b^4> 1   a^4+b^4> 1/8 2)оба числа положительны. если оба числа   a и b положительны,то   выполняется   неравенство     (a+b)> =2√ab тк (√a-√b)^2> =0 2√ab< =1       √ab< =1/2 тк   обе чвсти   положительны то   возведем   обе   его части   в 4   степень:   √a^4b^4< =1/16 2√a^4*b^4< =1/8 но   это   же неравенство   можно записать   и для 4   степеней: a^4+b^4> =2√a^4*b^4 то   откуда следует   неравенство: a^4+b^4> =1/8 чтд

1.если a+b=1 то a=1-b; 2.4(1-b)+4b> 1/8 , 4-4b+4b> 1/8. 3.4 больше 1/8

приращение функции - это всего лишь изменение значения функции при переходе из одной точки к другой. отсюда ясно, что оно вычисляется по формуле:

 

δf = f(x + δx) - f(x)

а)надо вычислить f(x₀) и f(x₀ + δx).

x₀ = 1, f(x₀) = √1 = 1

чтобы вычислить значение f(x₀ + δx) сначала необоходимо найти x₀ + δx:

x₀ + δx = 1 + 0.21 = 1.21

тогда f(x₀ + δx) = f(1.21) = √1.21 = 1.1

теперь легко найти приращение функции:

δf = 1.1 - 1 = 0.1

 

б)здесь всё те же фишки используем, аналогия с предыдущим случаем почти полная, поэтому просто решение уже без комментариев:

 

δf = f(x + δx) - f(x)

x₀ = 1, f(x₀) = f(1) = √1 = 1

x₀ + δx = 1 + 0.1025 = 1.1025

f(x₀ + δx) = f(1.1025) = √1.1025 = 1.05

δf = 1.05 - 1 = 0.05

 

 

 

известно, что ctg x = 1 / tg x. в связи с этим, перепишем уравнение так:

 

tg x + 3 / tg x - 4 = 0

введём замену. пусть tg x = a, причём a ≠ 0

 

a + 3/a - 4 = 0

(a² + 3 - 4a) / a = 0

  из свойств дроби, равной нулю, вытекает, что

 

a² - 4a + 3 = 0 (1)

a ≠ 0

 

a² - 4a + 3 = 0

a1 = 3; a2 = 1

данное дробно-рациональное уравнение имеет корни 3 и 1.теперь:

 

tg x = 3                                                        или                                                                            tg x = 1

x = arctg 3 + πn,n∈z                                                   x = π/4 + πk,k∈z