Докажите, что квадрат любого натурального числа, увеличенный на 1, не делится на 3.

Из свойств  квадрата натурального числа а                  либо делится на 3           -остаток 0,               либо не делится и дает -остаток 1. (а²+1)/3   в первом случе даст остаток-1                 во втором даст остаток-2. и в первом и втором случае не делится на 3 нацело. ps . доказательства  свойства квадрата  1)если число а кратно 3, значит             а = 3к, тогда а²= (3к)  = 9к²     делится на 3 нацело-остаок 0. 2)если же число а не кратно 3 то его можно представить двумя способами            а)   а= 3к -1,     тогда  а²= (3к-1)²=9к²-6к+1=3(3к²-2к)+1               и при делении на 3 даст -  остаток  1.   либо б)    а= 3к +1,     тогда  а²= (3к+1)²=9к²+6к+1=3(3к²+2к)+1               и при делении на 3 даст -  остаток  1.

√(х²-х)> √2 одз: х²-x≥0 x(x-1)≥0                 0                      1 || ++++++        +++++++ x∈(-∞; 0]  ∪ [1 ; +∞) возведем в квадрат обе часи x²-x> 2 x²-x-2> 0 д=1+8=9 х1=(1-3)/2=-1 х2=(1+3)/2=2               -1                        2 || +++++++ +++++++++ x∈(-∞; -1) ∪ (2 ; +∞) объединяем с одз получаем                         0          1 || ++++++ +++      ++++++++++++               -1                        2 || +++++++ +++++++++ ответ: x∈(-∞; -1) ∪ (2 ; +∞)

Треугольники dem и d₁e₁m₁ равные, т.к. по условию они имеют равные стороны (de=d₁e₁, em=e₁m₁) и равные  углы между этими сторонами:   ∠dem=∠d₁e₁m₁. значит, отрезки dm и d₁m₁ равны, потому что являются третьми сторонами равных треугольников. также  ∠dme =  ∠d₁m₁e₁, как соответствующие углы равных треугольников. угол fme является дополнительным углом к углу dme. угол f₁m₁e₁ является дополнительным углом к углу d₁m₁e₁. дополнительные углы к равным углам равны.   отрезки mf и m₁f₁ в три раза меньше равных друг другу отрезков dm и d₁m₁, т.е. тоже являются равными. итак, в треугольниках emf и e₁m₁f₁ имеются равные стороны (em=e₁m₁, mf=m₁f₁) и угол между ними (∠fme=∠f₁m₁e₁). следовательно, эти треугольники равны. а значит, равны и стороны ef и e₁f₁. чтд.