Прошу вашей в решении : найти допустимые значения переменной в выражении с дробями: 3а+7 3-а 1)все числа, кроме -3, 5 2)все числа, кроме -3 3)все числа, кроме 3 4)все числа, кроме 3, 5

3- a  ≠ 0;   a  ≠ 3.   ответ: все числа, кроме 3  

г) (1-9y²) / (3y²-13+4) = (1+3y)(1-3y) / 3(y-4)(y-1/3) = 3(1/3+y)(1/3-y) / 3(y-4)(y-1/3) = (1/3+y)(1/3-y) / (y-4)(y-1/3)

3y²-13+4 = 0;

D = (-13)²-4*3*4 = 169-48 = 121, √D = 11

y₁ = (13+11) / 2*3 = 24/6 = 4

y₂ = (13-11) / 2*3 = 2/6 = 1/3

Значит: 3y²-13+4 = 3(y-4)(y-1/3)

д) (36a²-12a+1) / (6a²+11a-2) = 36(a-1/6)(a-1/6) / 6(a-1/6)(a+2) = 6(a-1/6) / (a+2)

36a²-12a+1 = 0;

D = (-12)²-4*36*1 = 144-144 = 0, √D = 0

a = 12/(2*36) = 12/72 = 1/6

Значит: 36a²-12a+1  = 36(a-1/6)(a-1/6)

6a²+11a-2 = 0;

D = 11²-4*6*(-2) = 121 + 48 = 169, √D = 13

a₁ = (-11+13) / 2*6 = 2/12 = 1/6

a₂ = (-11-13) / 2*6 = -24/12 = -2

Значит: 6a²+11a-2 = 6(a-1/6)(a+2)

 

0 1 −2

a) f (x, y) = x1 y1 +5x2 y2 +6x3 y3 +2x1 y3 +2x3 y1 +3x2 y3 +3x3 y2 ,  2 0 −1  .

3 −2 0

 f (x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x2 y3 + x3 y2 ,

b) 

2 1 1

 −1 −3 1  .

1 2 −1

9.5. Даны два вектора a и b в унитарном(евклидовом Най-

ти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = (x, a)b.

9.6. Найти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = [x, a] в геометрических векторов.

9.7. Пусть xOy декартова система координат на плоскости и φ проекти-

рование на ось 0x параллельно биссектрисе первой и третьей четверти.

Найти сопряженный оператор φ∗ .

9.8. Путь вещественных многочленов со скалярным про-

1

изведением (f, g) = i! ai bi , f (x) = ai xi и g(x) = bi xi . Доказать, что

сопряженный оператор к оператору дифференцирования в V совпадает с

оператором умножения на x. Найти сопряженный оператор к дифферен-

циальному оператору ψ(f ) = x3 f .

9.9. Пусть финитных функций на R ( финитная функция

– бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого

+∞

отрезка) со скалярным произведением (f, g) = −∞ f (x)g(x)dx. Найти со-

пряженный оператор к оператору дифференцирования D(f ) = f . Найти

сопряженный оператор к дифференциальному оператору ψ(f ) = x3 f .

9.10. Пусть V евклидово вещественных n Ч n-матриц со

скалярным произведением (X, Y ) = TrXY t (см. задачу 7.11). Найти со-

пряженный оператор к оператору умножения φ(X) = AX на некоторую

матрицу A.

11

§10. Самосопряженные операторы

10.1. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из соб-

ственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-

нормированном базисе матрицей:

   

1 2 −2 −1 2 −3

−2 3

a) , b)  2 1 −7  , c)  2 2 −6 

3 6

−2 −7 1 −3 −6 7

 √ √     

√0 2 − 2 4 −1 2 −2 1 4

d)  √ − 1 − 7  , e)  −1 4 −2  , f )  1 −2 4  ,

2 2 2

− 2 −2 −1

7

2

2 −2 7 4 4 13

   

0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0

 , h)  1 0 1 1 

 

g) 

0 1 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 0

3 2 + 2i 3 −i 3 2−i

k) , m) , n) .

2 − 2i 1 i 3 2+i 7

10.2. a) Доказать, что оператор φ(f ) = (x2 − 1)f + 2xf является само-

сопряженным оператором в евклидовом вещественных мно-

+1

гочленов относительно скалярного произведения (f, g) = −1 f (x)g(x)dx.

dk

b) Доказать, что многочлены Лежандра Qk (x) = dxk (x2 − 1)k составляют

ортогональный базис из собственных векторов оператора φ. Найти соб-

ственные значения для Qk (x).

§11. Ортогональные и унитарные операторы

11.1. Найти ортонормированный базис из собственный векторов для уни-

тарных операторов, заданных матрицами:

cos α − sin α 1 1+i 1

a) (α = kπ), b) √ .

sin α cos α 3 −1 1 − i

11.2. Найти каноническую матрицу и канонический канонический базис

ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном ба-