При делении этого числа на 225 в остатке получилось 150/ разделиться ли нацело данное число на 75 и почему?

Да, разделится, т.к. делитель 150 делится на 75   ( 150: 75=2),   и остаток 225 делится на 75 (  225: 75=3). поэтому остатка при делении на 75   не будет.

пусть х км/ч собственная скорость лодки, тогда ( х+3) км/ч - скорость лодки по течению реки. по времени в пути  сост уравнение:

6 / (х+3)    + 10/ х = 1 

приводим к общему знаменателю х(х+3) и отбрасываем его

, заметив, что х не=0 и х не=-3

 

6х+10(х+3)=х(х+3)

6х+10х+30=х2+3х    х2 - это х в квадрате

х2-16х+3х-30=0

х2-13х-30=0

d= 169+120=289, 2 корня

х(1)=(13+17) / 2 =15 (км/ч)

х(2)=(13-17) / 2= -2 не подходит под условие

 

ответ: 15 км/ч скорость лодки по озеру.

Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2; 2]. x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2; тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3< 2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом индукции утверждение  доказано для всех членов последовательности. далее, оценим разность между соседними членами последовательности:   |x_(n+1)  -  x_n|=|1+(1/x_n)  - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1)  -  x_n|/(x_n·x_(n-1))≤ |x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2 отсюда следует сходимость последовательности. предел a  последовательности теперь ищется элементарно. для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n): a=1+(1/a); a^2-a-1=0; a=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку a> 0 [2a]=[1+√5]=3 ответ:   3