Докажите, что произведение квадрата натурального числа на натуральное число, предшествующее этому квадрату, делится на 12.

Представим натуральное число в виде 2n и 2n+1 в случае 2n получаем: делится на 4 (2n)*(2n-1)*(2n+1) делится на 3 соответственно число делится на 12 в случае  2n+1  получаем: делится на 3 делится на 4 соответственно число делится на 12

Пусть первому на выполнение  работы отдельно  нужно (х) часов второму (х-6) часов тогда за 1 час первый перевозит (1/х) часть зерна, за 4 часа (4/х) часть второй (1/(х-6)) часть зерна, за 4 часа (4/(х-6)) часть зерна вместе они за 4 часа перевозят все зерно, т.е. целое единицу отсюда уравнение: (4/х) + (4/(х-6)) = 1 (4х-24 + 4х) / (х(х-6)) = 1 8х - 24 = x^2 - 6x x^2 - 14x + 24 = 0 по т.виета корни (2) и (12) первый корень не имеет смысла, т.к. один грузовик не может перевести все зерно быстрее (за 2 часа), чем два грузовика вместе (за 4 часа) ответ: первому потребуется на перевозку зерна в  одиночестве 12 часов, второму 6 часов. проверка: первый за час перевозит (1/12) часть зерна, за 4 часа   в 4 раза больше (4/12 = 1/3) второй за час перевозит (1/6) часть зерна, за 4 часа   (4/6 = 2/3) вместе за 4 часа они перевезут (1/3)+(2/3) = 1 вроде

Если меньшая сторона прямоугольника - х см, то из условия большая сторона на 4 см больше, то есть (х+4), а диагональ - на 8 см больше, то есть (х+8). составляем уравнение исходя из теоремы пифагора для прям. тр-ка, в котором гипотенуза - диагональ пр-ка, а катеты - его стороны: (х+8)²= х² + (х+4)² х² + 16х + 64 = х² + х² + 8х + 16 х² - 8х - 48 = 0 по теореме виета корни: х₁ = -4 х₂ = 12 первый корень не подходит по смыслу. значит меньшая сторона пр-ка равна 12. большая тогда равна 12+4 = 16 см. ответ: 12см; 16 см.