Решите логарифмическре уравнение 2log3x+log34−4=0

Одз: x> 0 - посторонний корень, не удовлетворяет одз. ответ: 4,5

Полное условие : на изготовление 572 деталей первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 650 деталей. известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. сколько деталей в час делает первый рабочий? решение:                     кол/во деталей       время         производительность 1 рабочий       572 дет                   х час                 572/х 2 рабочий       650 дет                 х+4 час               650/(х+4) по условию производительность первого на 1 деталь в час больше составим уравнение время не может быть отрицательным значит время первого 22 час производительность производительность первого 26 дет/час, производительность второго 25 дет/час

уравнение решается специальным образом. найдём такое число c, на которое сможем разделить уравнение

 

c = √3²+4² = √25 = 5

делим почленно уравнение на 5:

 

3/5 sin 2x + 4/5 cos 2x = 1/2

пусть 3/5 = sin φ, 4/5 = cosφ. тогда пользуясь формулами сложения переводим это уравнение к такому виду:

 

sin φ sin 2x + cos φ cos 2x = 1/2

cos(2x - φ) = 1/2

и далее

2x - φ = ±arccos 1/2 + 2πn,n∈z

2x - φ = ±π/3 + 2πn,n∈z

2x = ±π/3 + φ + 2πn,n∈z

x = ±π/6 + φ/2 + πn,n∈z

 

теперь разберёмся с аргументом φ и определим его значение. рассуждаем таким образом. так как sin φ > 0, cos φ> 0, то по всей видимости φ находится в 1 четверти. в данной четверти определены такие обратные тригонометрические функции, как arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. выбираем любую из этих функций в качестве значений φ. выберем например φ = arcsin 3/5, тогда получим окончательный корень:

 

x = ±π/6 + 1/2 arcsin 3/5 + πn,∈z

уравнение решено.