Решите уравнения с модулями 9-x=|3x+1| |x-7|=-2 |2x-1|=|x+3|=8 |x-3|+|x+2|-|x-4|=3 решите неравенства |1-2x|> 3-x |x-3|< 1 |x-2|+|x+5< =7

================================================= 9 -x = |3x+1|         [  9-x  ≥  0     ⇒  x∈[ -∞ ; 9 ].   a)  3x+1 =9-x     ⇒  x=  2    ; b)3x+1 = -(9-x)  ⇒ x =   -5 x|x-7| = - 2   не имеет решения |2x -1| +  |x+3|  =8 ;             |x+3| +2|x-1/2|  =  8; a)    x∈(-∞ ; -3)  ⇒ -(x +3)  -(2x-1) =8  ⇒ x=  -10/3  ; b)  x∈  [-3; 1/2)  ⇒   (x+3) -(2x-1)  = 8  ⇒  x =  -4  ∉   [-3; 1/2) ; c)  x∈ [1/2;   ∞)  ⇒ (x+3) +(2x  -1)= 8  ⇒  x  =  2.   ответ :   -10/3 ; 2  .   |x-3|+|x+2|-|x-4|=3 ; |x+2| +|x-3| -|x-4| =3;   -  -  -  (-2   + -   -    + +  -       4     + + + a)  x  ∈  (-∞; -2) ;     -(x+2)   -(x-3) +(x-4)  =3    ⇒  x= -6    ; b)  x  ∈ [2  ; 3) ;     (x+2) -  (x-3) +(x-4) =3   ⇒ x  = 2    ; c)    x  ∈ [3; 4) ; (x+2) +  (x-3) +(x-4) =3  ⇒ x= 8/3  ∉ [3; 4) ; d)       x  ∈ [3; 4) ; (x+2) +  (x-3) -(x-4) =3 ⇒ x=0   ∉  [ 4;   ∞)     ответ : -6 , 2.    ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ |x-3| < 1  ⇒ -1 <   x-3 < 1  ⇔2 < x   < 4   или по другому   x∈ (2; 4) .

1) база индукции: 1 проверено. предположим, что утверждение верно для n=k. покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. так как , следуя предположению  то прибавив к данному выражению d. мы получим   следующий член  .т.е. предположение верно. ч.т.д.2) база : 1проверка:   .  предположение:   теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при  : так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. ч.т.д. 3) это не формула общего члена, это формула суммы. при  получается деление на ноль, поэтому сразу пишем  база: 1 предположим, что формула верна для:   покажем и докажем что формула верна для  : как и с суммой арифм.прогрессии. мы добавим k+1 член к сумме. ч.т.д.

                        s                         v                     t 1-я лодка       х  км               у + 3  км/ч       х/(у +3) ч 2-я лодка       111 - х  км     у -   3  км/ч       (111-х)/(у -3)ч  х/(у + 3) = 1,5         ,⇒     х = 1,5(у +3) (111-х)/(у -3) = 1,5,⇒  111 - х = 1,5(у -3) сложим  эти 2 уравнения почленно получим: 111= 1,5(у +3) + 1,5(у -3) 111 = 1,5у +4,4 + 1,у - 4,5 3у = 111 у = 37(км/ч) - собственная скорость лодки х = 1,5(у +3) = 1,5(37 +3) = 1,5*40 = 60(км) -1-я лодка проплыла до встречи 111 - 60 = 51(км) - проплыла 2-я лодка до встречи.