Найдите множество значений функции y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1)

решение: y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1)=(2*x^2+2*x+1+1)/(2*x^2+2*x+1)=

=1+1\(2*x^2+2*x+1)

 

(2*x^2+2*x+1)=2*(x^2+x+1\4)-2*1\4+1=2*(x+1\2)^2+1\2> =1\2

так как (x+1\2)^2> =0 для любого действительного х как парная степень выражения неотрицательна

2*(x+1\2)^2> =0 для любого действительного х

2*(x+1\2)^2+1\2> =0+1\2=1\2 для любого действительного х

 

0< 1\(2*x^2+2*x+1)< =1\(1\2)=2

0< 1\(2*x^2+2*x+1)< =2 для любого действительного х

1=1+0< 1+1\(2*x^2+2*x+1)< =1+2=3 для любого действительного х

1< 1+1\(2*x^2+2*x+1)< =3 для любого действительного х

 

отсюда множество значений данной функции

y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1) 

лежит от 1 невключительно до 3 включительно

 

 

преобразуем к виду:

у = 1 + 1/(2*x^2+2*x+1).

исследуем квадратичнкю функцию:

у1 =  2*x^2+2*x+1.

d меньше 0.

пересечений с осью х - нет.

минимальное значение принимает в вершине:

при хm = -1/2   y1m = 1/2   -   1   +   1 = 1/2

это значение соответствует:

y max = 1 + 1/(1/2) = 3.

  максимальное значение y1 не существует и стремится к бесконечности.

в таком случае минимальное значение у стремится к (1+ 1/беск) = 1

ответ:   e(y):   (1; 3]

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался.

Где?

В рациональных уравнениях!

Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!

Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем

1.

(sin3A+sinA) / (cos3A+cosA) =

= (2·sin((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) / (2·cos((3A+A)/2)·cos((3A-A)/2)) =

= (2·sin2A·cosA) / (2·cos2A·cosA) =

= (2·sin2A) / (2·cos2A) =

= (2·sin2A·cos2A) / (2·cos2A·cos2A) =

= (sin4A) / (2·cos²2A) =

= (sin4A) / (2·cos²2A) = (sin4A) / (1+cos4A)

2.

4·cos(A/3)·cos(A/4)·cos(A/6) =

= 4·cos(A/4)·(cos(A/3)·cos(A/6)) =

= 4·cos(A/4)·(1/2)·(cos(A/3+A/6)+cos(A/3-A/6)) =

= 2·cos(A/4)·(cos(A/2)+cos(A/6)) =

= 2·cos(A/4)·cos(A/2)+2·cos(A/4)·cos(A/6) =

= 2·(1/2)·(cos(A/4+A/2)+cos(A/4-A/2)) +

   + 2·(1/2)·(cos(A/4+A/6)+cos(A/4-A/6)) =

= cos(3A/4)+cos(-A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12) =

= cos(3A/4)+cos(A/4)+cos(5A/12)+cos(A/12)