Решить, 1.8cos²x+10cosx+3=0 2.9cosx-5sinx-5=0

8cos²x+10cosx+3=0
cosx=t  |t|≤1
8t²+10t+3=0
D=25-24=1
t1=-5-1/8=-6/8=-3/4
t2=-5+1/8=-4/8=-1/2
cosx=-1/2                            cosx=-3/4
x=+-2pi/3+2pi*n                        x=+-arccos-3/4+2pi*n

9cosx-5sinx-5=0
поделим на выражение √9²+5²=√81+25=√106
9/√106cosx-5/√106sinx=5/√106
cos(x+arcsin5/√106)=5/√106
x+arcsin5/√106=+-arccos5/√106+2pi*n
x=-arccos5/√106-arcsin5/√106+2pi*n
x=-pi/2+2pi*n
x=arccos5/√106-arcsin5/√106+2pi*n

В таких задачах уместно пользоваться следующим правилом: каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на 2пк, где к - целое число. Это значит, что sin (t + 2пк) = sin t. Аналогично cos (t + 2пк) = cos t. Используем это в задаче: 200п/3 = 66п + 2п/3= 33•2п + 2п/3. Здесь параметр к равен 33, то есть мы 33 раза полную окружность и пришли в точку 2п/3. Делаем вывод: числу 200п/3 соответсвует число 2п/3. Найдём синус и косинус 2п/3: sin 2п/3 = √3 / 2. cos 2п/3 = -1/2

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение относительно х.

4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.

Пример 1. Решить систему уравнений

Система уравнений

Решение.

1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.

2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.

3)Решим полученное уравнение:

Система уравнений

4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если Al63.jpg то Уравнение

5)    Пары (2; 1) и Al65.jpg решения заданной системы уравнений.

ответ: (2; 1); Al65.jpg

Метод алгебраического сложения

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений

Система уравнений

Решение.

Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: Система уравнений

Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

Система уравнений

В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:

Система уравнений

Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Уравнение Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим

Система уравнений

Осталось подставить найденные значения х в формулу Формула

Если х = 2, то

Решение

Таким образом, мы нашли два решения системы: Решение

ответ:  ответ

Метод введения новых переменных

С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Пример 3. Решить систему уравнений

Система уравнений

Решение. Введем новую переменную Al617.jpg Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Уравнение Решим это уравнение относительно переменной t: