Найти наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение. 0, 5(sinx+sqrt3cosx)=8-7a-2a^2

согласно формуле сложения гармонических колебаний

sin x +  √3 * cos x = 2 * sin (x + π/3)

тогда уравнение принимает вид

sin (x+π/3) = 8 - 7 * a - 2 * a² = 14,125 - (6,125 + 7 * a + 2 * a²) =

14,125 - 2 * (a² +3,5 * a + 3,0625) = 14,125 - 2 * (a + 1,75)²

поскольку значение синуса лежит в пределах от -1 до 1, то

-1 ≤ 14,125 - 2 * (a + 1,75)² ≤ 1 ,  откуда

6,5625 ≤ (a + 1,75)² ≤ 7,5625

итак,  √6,5625 ≤ а + 1,75 ≤ 2,75    или  -2,75 ≤ а + 1,75 ≤ -√6,5625 .  тогда

                    √6,5625 - 1,75 ≤ а ≤ 1    или  -4,5 ≤ а ≤ -√6,5625 - 1,75

следовательно, минимальное значение параметра, при котором уравнение имеет решение  а = -4,5

 

 

Напишем  неравенство 4ax  +  |x^2 -  10x  +  21|  > -42 - должно выполняться при любом х |(x  -  3)(x  -  7)|  +  4ax + 42 >   0 1)  при  x  ∈ [3, 7]  выражение  под модулем будет < 0, то есть |x^2  -  10x  +  21|  =  -x^2 + 10x - 21 то  есть  ветви параболы направлены вниз,  и ни при каком а значение не будет всегда положительным. 2)  значит,  x  ∈ (-oo; 3)  u (7; +oo),  тогда |x^2  -  10x  +  21|  =  x^2 - 10x + 21 подставляем x^2  -  10x + 21 + 4ax + 42 = x^2 + 2x(2a -  5)  + 63 = 0 если  это  выражение всегда положительно, то корней оно не имеет. d/4 =  (b/2)^2  - ac = (2a -  5)^2  - 1*63 = 4a^2 - 20a + 25 - 63 = 4a^2 - 20a - 38 < 0 2a^2  -  10a - 19 < 0 d1/4  =  5^2 - 2(-19) = 25 + 38 = 63 = (3√7)^2 a1  =  (5 -  3√7)/2  ~ -1,47 a2  =  (5 +  3√7)/2  ~ 6,47 ответ:   a  ∈ ((5 -  3√7)/2;   (5 +  3√7)/2),  целые: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

1) (x² - 2x)² - 9 = 0 пусть а = х² - 2х. а² - 9 = 0 (а - 3)(а + 3) = 0 а = 3 а = -3 обратная замена: х² - 2х = 3 х² - 2х = -3 х² - 2х - 3 = 0 х² - 2х + 3 = 0 для первого уравнения по обратной теореме виета: x1 + x2 = 2 х1•х2 = -3 х1 = 3; х2 = -1 для второго уравнения: d = 2² - 3•4 = 4 - 12 = -8 =. нет корней. ответ: х = -1; 3. 2) (х² - 2х)² + 2(х² - 2х) - 15 = 0 пусть b = x² - 2x. b² + 2b - 15 = 0 по обратной теореме виета: b1 + b2 = -2 b1•b2 = -15 b1 = -5; b2 = 3. обратная замена: x² - 2x = -5 x² - 2x = 3 x² - 2x + 5 = 0 x² - 2x - 3 = 0 для первого уравнения: d = 2² - 5•4 = 4 - 20 = -16 => нет корней. для второго уравнения по обратной теореме виета: x1 + x2 = 2 x1•x2 = -3 x1 = -1; x2 = 3. ответ: х = -1; 3. 3) 3x² + 1 - 2√(3x² + 1) = 0 пусть c = √(3x² + 1). c² - 2c = 0 c² = 2c c = 0 c = 2 обратная замена: √(3x² + 1) = 0 √(3x² + 1) = 2 3x² + 1 = 0 3x² + 1 = 4 3x² = -1 3x² = 3 первое уравнение не имеет действительных корней. 3x² = 3 x² = 1 x = ±1. ответ: х = -1; 1.