Выполните сложение дробей 7/(7-у)+у/(у -7) , если у≠7

  7  +  у   =  7  -   у  = 7-у = 1
7-у    у-7    7-у   7-у    7-у

Фотография……………………………….

Арксинус, arcsin

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
sin(arcsin x) = x     
arcsin(sin x) = x     

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус 
График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
cos(arccos x) = x     
arccos(cos x) = x     

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус 
График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

 y = arcsin xy = arccos xОбласть определения– 1 ≤ x ≤ 1– 1 ≤ x ≤ 1Область значений  Возрастание, убываниемонотонно возрастаетмонотонно убываетМаксимумы    Минимумы    Нули, y = 0x = 0x = 1Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = π/2Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 xarcsin xarccos xград.рад.град.рад.– 1– 90°– 180°π– – 60°– 150°– – 45°– 135°– – 30°– 120°00°090°30°60°45°45°60°30°190°0°0

 ≈ 0,7071067811865476
 ≈ 0,8660254037844386

ФормулыСм. также:
Вывод формул обратных тригонометрических функций

 
 
 

Формулы суммы и разности

  
     при или 
 
     при и 
  
     при и

  
     при или 
 
     при и 
 
     при и

  
     при  
  
     при 

  
     при  
  
     при 

Выражения через логарифмы, комплексные числаСм. также:
Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:
,
где  – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t   и интегрируем по частям: 
  .

Выразим арккосинус через арксинус: 
  .

Разложения в ряды

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
 ; 
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x      
cos(arccos x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса: 
arcsin(sin x) = x     при  
arccos(cos x) = x     при .

Сумма:
3x² - 2x + 6  +  2x² - 3x + 6 = (3x² - 2x² )  - (2x + 3x) +(6+6) =
= x²  - 5x + 12
Разность:
3x²  - 2x + 6 - (2x² - 3x + 6) = 3x² -2x + 6 -2x² +3x - 6 =
= (3x² -2x²) + (3x - 2x) + (6 - 6) = x² + x
Произведение:
(3х² - 2х + 6)(2х² - 3х  + 6) =
= 3х²*2х² - 3х²*3х  + 3х² * 6  -2х *2х² - 2х*(-3х) -2х*6 +6*2х² +6*(-3х) + 6*6=
= 6х⁴  - 9х³ + 18х²  - 4х³ + 6х² - 12х +12х²  - 18х + 36 =
= 6х⁴ + (-9х³ -4х³) + (18х² +6х² + 12х²) + (-12х -18х) + 36 =
= 6х⁴ - 13х³ + 36х² - 30х + 36

Уравнение.
3 - х²= х - (х+1)(х-6)
3 - х² = х - (х² -6х + х - 6)
3 - х² = х - (х² - 5х - 6)
3 - х² = х - х² + 5х + 6
3 - х² = -х² + 6х + 6
 - х²  + х² - 6х  = 6 - 3
- 6х = 3
х = 3 : (-6)  = - ³/₆ = -¹/₂
х = - 0,5

3 - ( - 0,5)²= -0,5 - (-0,5+1)(-0,5-6)
3 - 0,25  = -0,5  - 0,5 * (-6,5)
2,75  = - 0,5 + 3,25
2,75 = 2,75