Найдите точку минимума функции f(x)=(5x^2 - 35x + 55) e^x-11

F`(x)=(10x-35)e^(x-11) +e^(x-11)*(5x²-35x+55)=e^(x-11)*(10x-35+5x²-35x+55)=
=e^(x-11)*(5x²-25x+20)=0
5(x²-5x+4)=0
x1+x2=5 U x1*x2=4
x1=1 U x2=4
           +                _                        +

                   1                      4
                 max                min
y(1)=(5-35+55)e^(-10)=25/e^10  наиб
y(4)=(80-140+55)e^(-7)=-5/e^7 наим

x=1.

Объяснение:

если комбинировать методы, можно решить таким путём:

1) ОДЗ уравнения базируется на дроби (х≠0) и на корне чётной степени (х≥0), то есть только положительные значения Х являются допустимыми в данном уравнении;

2) левая часть исходного уравнения представляет из себя одну ветви параболы, которая лежит в первой координатной четверти; правая же часть - гиперболу, ветви которой лежат в первой и третьей четвертях. Как вывод: при таких графиках только одна точка пересечения, то есть только один корень;

3) если в исходном уравнении сделать замены вида

тогда исходное уравнение (ОДЗ: только положительные числа) становится таким:

где элементарным подбором видно (теорема Безу), что t=1;

4) если понижать степень в уравнении пункта №3, тогда получается, что

дальнейшее понижение степени полинома 47-й степени не есть целесообразно, так как согласно пункту №2 уравнение имеет единственный действительный корень. Это х=1.

***

квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0,

где

a — первый коэффициент, не равный нулю

b — второй коэффициент

c — свободный член.

решаем с дискриминанта:

1) x² - x - 90 = 0

a = 1,   b = -1,   c = -90

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 · 1 · (-90) = 361 >0

т.к. дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня

=>

X₁ = (-b+√D) / 2a = ( -(-1) + √361 ) / 2 · 1 = 1 + 19 / 2 = 20/2 = 10

X₂ = (-b-√D) / 2a = ( -(-1) - √361 ) / 2 · 1 = 1 - 19 / 2 = -18/2 = -9

2) x² + 6x + 9 = 0

a = 1,  b = 6,  c = 9

D = b² - 4ac = (6)² - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0

т.к. дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один действительный корень

=>

X₁,₂ = (-b±√D) / 2a = ( (-6) ±√D ) / 2

3) 5x² + 4x + 7 = 0

a = 5,  b = 4,  c = 7

D = b² - 4ac = (4)² - 4 · 5 · 7 = 16 - 140 = - 124 < 0

т.к.  дискриминант меньше нуля, значит не существует вещественных корней, а только комплексные корни

4) x² + 2x - 35 = 0

a = 1,  b = 2,  c = -35

D = b² - 4ac = (2)² - 4 · 1 · (-35) = 4 - (-140) = 4 + 140 = 144

т.к. дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня

=>

X₁ = (-b+√D) / 2a = ( (-2) + √144 ) / 2 · 1 = (-2 + 12) / 2 = 10/2 = 5

X₂ = (-b-√D) / 2a = ( (-2) - √144 ) / 2 · 1 =  (-2 - 12) / 2 = -14/2 = -7