Квадрат разности a и b запишите в виде выражения
Ответы
(a-b)²
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.
Определение Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а:
если и
Все корни уравнений вида cos(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Уравнение sin х = а
Из определения синуса следует, что . Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то корень заключён в промежутке
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
Определение Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида sin(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Уравнение tg х = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то в промежутке .
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a
Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число , тангенс которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого a справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = а, tg x = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0
Заменяя cos2 х на 1 - sin2х, получаем
2 (1 - sin2х) - 5 sin х + 1 = 0, или
2 sin2х + 5 sin x - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin х = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin х = 0,5;
ответ
Решить уравнение 2 cos2 6х +8 sin 3х cos 3x - 4 = 0
Используя формулы
sin2 6x + cos2 6x = 1, sin 6х = 2 sin 3x cos 3x
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = 0 => 3 sin2 6х - 4 sin 6x + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
1)
2)
ответ
Уравнение вида a sin x + b cos x = c
Решить уравнение 2 sin x + cos x - 2 = 0
Используя формулы и записывая правую часть уравпения в виде получаем
Поделив это уравнение на получим равносильное уравнение
Обозначая получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
1)
2)
ответ
В общем случае уравнения вида a sin x + b cos x = c, при условиях можно решить методом введения вс угла.
Разделим обе части этого уравнения на :
Введём вс аргумент , такой, что
Такое число существует, так как
Таким образом, уравнение можно записать в виде
откуда
где или
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin x + b cos x = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вс угла.
Решить уравнение 4 sin x + 3 cos x = 5
Здесь a = 4, b = 3, . Поделим обе части уравнения на 5:
Введём вс аргумент , такой, что Исходное уравнение можно записать в виде
откуда
ответ
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin х cos x - sin x = 0. Вынося общий множитель sin x за скобки, получаем sin x (2 cos x - 1) = 0
1)
2)
ответ
Решить уравнение cos 3х cos х = cos 2x
cos 2х = cos (3х - х) = cos 3х cos x + sin 3х sin x, поэтому уравнение примет вид sin x sin 3х = 0
1)
2)
Заметим, что числа содержатся среди чисел вида
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
ответ
Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2x = 5
Выразим sin2x через cos 2x.
Так как cos 2x = cos2x - sin2x, то
cos 2x = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2x = 1 - 2 sin2 х, откуда
sin2 х = 1/2 (1 - cos 2x)
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos 2x) + 2 (1 - cos2 2х) = 5
2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0
cos 2х (2 cos 2x + 3) = 0
1) cos 2х =0,
2) уравнение cos 2x = -3/2 корней не имеет.
ответ
Определение Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а:
если и
Все корни уравнений вида cos(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Уравнение sin х = а
Из определения синуса следует, что . Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то корень заключён в промежутке
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
Определение Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида sin(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Уравнение tg х = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то в промежутке .
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a
Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число , тангенс которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого a справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = а, tg x = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0
Заменяя cos2 х на 1 - sin2х, получаем
2 (1 - sin2х) - 5 sin х + 1 = 0, или
2 sin2х + 5 sin x - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin х = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin х = 0,5;
ответ
Решить уравнение 2 cos2 6х +8 sin 3х cos 3x - 4 = 0
Используя формулы
sin2 6x + cos2 6x = 1, sin 6х = 2 sin 3x cos 3x
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = 0 => 3 sin2 6х - 4 sin 6x + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
1)
2)
ответ
Уравнение вида a sin x + b cos x = c
Решить уравнение 2 sin x + cos x - 2 = 0
Используя формулы и записывая правую часть уравпения в виде получаем
Поделив это уравнение на получим равносильное уравнение
Обозначая получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
1)
2)
ответ
В общем случае уравнения вида a sin x + b cos x = c, при условиях можно решить методом введения вс угла.
Разделим обе части этого уравнения на :
Введём вс аргумент , такой, что
Такое число существует, так как
Таким образом, уравнение можно записать в виде
откуда
где или
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin x + b cos x = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вс угла.
Решить уравнение 4 sin x + 3 cos x = 5
Здесь a = 4, b = 3, . Поделим обе части уравнения на 5:
Введём вс аргумент , такой, что Исходное уравнение можно записать в виде
откуда
ответ
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin х cos x - sin x = 0. Вынося общий множитель sin x за скобки, получаем sin x (2 cos x - 1) = 0
1)
2)
ответ
Решить уравнение cos 3х cos х = cos 2x
cos 2х = cos (3х - х) = cos 3х cos x + sin 3х sin x, поэтому уравнение примет вид sin x sin 3х = 0
1)
2)
Заметим, что числа содержатся среди чисел вида
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
ответ
Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2x = 5
Выразим sin2x через cos 2x.
Так как cos 2x = cos2x - sin2x, то
cos 2x = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2x = 1 - 2 sin2 х, откуда
sin2 х = 1/2 (1 - cos 2x)
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos 2x) + 2 (1 - cos2 2х) = 5
2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0
cos 2х (2 cos 2x + 3) = 0
1) cos 2х =0,
2) уравнение cos 2x = -3/2 корней не имеет.
ответ
И остался служить на Кавказе. А Костылина только ещё через месяц выкупили за пять тысяч. Еле живого привезли.Когда Костылин совсем разболелся, распух, и ломота во всем теле, и всё стонет и спит. А Жилин видит дело плохо, начал подкапываться, но это было замечено. Хозяин пригрозил убить. И когда пришла Дина и начала кидать. Жилин,расчистил в яме местечко, наковырял глины, стал лепить кукол. Наделал людей, лошадей, собак; думает: "Как придёт Дина, брошу ей". Но, когда он услышал на следующий день, что татары спорят, кричат и напоминают про русских. Потом через некоторое время, приходит Дина и у них завязывается диалог.
И звездной ночью, приходит Дина. говоря, что все разъехались, дома только двое. Она им подала шест, Жилин полез по нему первый. Раза два обрывался, колодка мешала. Вылез еле как. Слез под кручь, взял камень острый, стал замок с колодки выворачивать. Костылин остался там. "И остался служить на Кавказе. А Костылина только ещё через месяц выкупили за пять тысяч. Еле живого привезли."
Он шёл по лесу "Дошёл до лесу - никто не попался. Выбрав место по темнее, сел отдыхать."Всю ночь шел, не сдавался. По пути попались два татарина. Склонился за дерево. Когда увидев казаков, и собравшись с силами. Думал: " Избави бог тут, в чистом поле, увидит конный татарин: хоть близко, а не уйдёшь".
Увиделалт его татары, он запаниковал, и начал кричать казакам. Закончилось для Жилина всё хорошо.
И звездной ночью, приходит Дина. говоря, что все разъехались, дома только двое. Она им подала шест, Жилин полез по нему первый. Раза два обрывался, колодка мешала. Вылез еле как. Слез под кручь, взял камень острый, стал замок с колодки выворачивать. Костылин остался там. "И остался служить на Кавказе. А Костылина только ещё через месяц выкупили за пять тысяч. Еле живого привезли."
Он шёл по лесу "Дошёл до лесу - никто не попался. Выбрав место по темнее, сел отдыхать."Всю ночь шел, не сдавался. По пути попались два татарина. Склонился за дерево. Когда увидев казаков, и собравшись с силами. Думал: " Избави бог тут, в чистом поле, увидит конный татарин: хоть близко, а не уйдёшь".
Увиделалт его татары, он запаниковал, и начал кричать казакам. Закончилось для Жилина всё хорошо.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос: