Определите количество корней уравнения из отрезка [-pi; pi] (cosx-1)(ctg(2x+pi/4)-1)=0

y = x^5 - 5x^4 +3

y' = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3*(x -4)=0

x=0, x=4 - точки - кандидаты в экстремумы.

y'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x-1)=0

x=0,   x=1 кандидаты на точки перегиба

y''> 0 , если x> 1   - функция вогнутая

y''< 0, если x< 1   - функция выпуклая.

вот только теперь с точкой х=0 стало более-менее понятно. в этой точке функция выпукла, значит это точка максимума.

с х=4 тоже понятно, в ней функция вогнута, значит это точка минимума

 

ответ

х=0 точка максимума

х=4 точка минимума

 

ну и 

х=1 - точка перегиба 

 

вот и всё. почему так длинно? к сожалению, попалась точка(х=0) которая не определяется только через 1 производную, нужно было проводить дополнительные исследования. 

 

успехов!

Производная функции - это угловой коеффициент касательной. производная f(x)= 3-6x^2-x^3 равна -12x-3x^2. осталось найти, когда функция -12x-3x^2 принимает максимальное значение."-3x^2 - 12x + 0" - это квадратное уравнение.a < 0 => ветки вниз => функция максимальна в точке вершины.координата х вершины равна -b/(2a) = 12/(-6) = -2.значение функции в точке вершины равно -3*4 + 24 = 12 уравнение касательной будет y = 12x + b теперь из условия равенства самой функции и касательной в точке х=-2 найдем b: 12x + b = 3-6x^2-x^3 x^3+6x^2 + 12x + b - 3 = 0 -8 + 24 - 24 + b - 3 = 0 -11 + b = 0 => b = 11 ответ: y = 12x + 11