Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны: а) 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 б) 1/8, 3/8, 5/8, 7/8

решение во вложениях

Представим 4, как 4 * 1 = 4(sin² x + cos²x), затем подставим, раскроем скобки и подобные слагаемые: 8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4(sin² x + cos²x) = 0 8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0 4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0 данное уравнение является однородным уравнением второй степени. для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы: 4sin²x + 0 - 0 = 0 sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. получаем: 4tg²x + tg x - 3 = 0 теперь пусть tg x = t, тогда 4t² + t - 3 = 0 d = 1 + 48 = 49 t1 = (-1 - 7) / 8 = -8/8 = -1 t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4 приходим к совокупности уравнений: tg x = -1 или tg x = 3/4 x = -π/4 + πn, n∈z x = arctg 3/4 + πk, k∈z ответ: -π/4 + πn, n∈z ; arctg 3/4 + πk, k∈z

Можно и индукцией доказать: база индукции: при n = 1: 1/(1*2) = 1/(1+1) - верно. предположение индукции:   пусть при n = k верно следующее: 1/(1*2) + + 1/(k*(k+1)) = k / (k+1) индукционный переход: докажем, что  1/(1*2) + + 1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2)заменим  1/(1*2) + + 1/(k*(k+1)) на  k / (k+1), так как мы предположили верность этого равенства. тогда должно выполняться следующее: k / (k+1) +  1/((k+1)(k+2)) =  (k+1) / (k+2) левую часть: k / (k+1) +  1/((k+1)(k+2)) = k*(k+2) / ((k+1)(k+2)) +  1/((k+1)(k+2)) = (k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))=(k+1)^2 / ((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2).(k+1)/(k+2) =  (k+1)/(k+2) - тождество, ч.т.д.