Сполным решение и описанием . одна уборочная машина работает 3 раза быстрее чем другая если начать работу одновременно на двух машинах то заданный объем работы можно выполнить за 3 часа за сколько часов можно выполнить этот объем работы на каждой из машин в отдельности

Решение смотри в приложении

Пусть первая машина тратит на эту работу (х) часов,
тогда вторая машина тратит (3х) часа ---работает в 3 раза медленнее)))
за один час первая выполнит (1/х) часть работы,
за один час вторая выполнит (1/(3х)) часть работы,
за три часа первая выполнит (3/х) часть работы,
за три часа вторая выполнит (3/(3х) = 1/х) часть работы...
(3/х) + (1/х) = 1 ---это весь объем работы))
4/х = 1
х = 4 (часа нужно первой машине на всю работу самостоятельно))
3*4 = 12 часов нужно второй машине))

Пусть мальчиков m, девочек d. Тогда
100% * m + 100% * d = 130% * m + 50% * d
30 % m = 50% d
3m = 5d

Так как 30% * m = 3m/10 - целое число, то m делится на 10. Обозначим m = 10M и подставим в равенство.
3 * 10M = 5d
6M = d

Отсюда число девочек делится на 6 (заметим, что при этом условии 50% девочек - гарантированно целое число). После обозначения d = 6D равенство превращается в издевательское:
6M = 6D
M = D

Очевидно, минимум будет достигаться, если M = D = 1. Тогда m = 10 и d = 6.

Можно было сразу после заключения о том, что m делится на 10, начать перебирать возможные m. ответ при этом получился бы быстрее.

Из левой части получим правую для чего домножим числитель и знаменатель левой части на сумму (sinα+cosα)

((sinα+cosα)²)/((cosα-sinα)(sinα+cosα)) Числитель разложим по формуле

(а+в)²=а²+2ав+в², а знаменатель по формуле (а-в)*(а+в)=а²- в², и почленно разделим числитель на знаменатель, предварительно применив формулу косинуса двойного аргумента cos²α-sin²α=cos2α; синуса двойного аргумента 2sinα*cosα= sin2α     и основное тригонометрическое тождество sinα²+cos²α=1.

(sinα²+2sinα*cosα+cos²α)/(cos²α-sin²α)=(1+sin2α)/(cos2α)=

1/cos2α+(sin2α)/(cos2α)=tg2α+(1/cos2α) , что и требовалось доказать.