Сократите дробь a^2*b^2+4b^2-4a^2-b^4 / 2a-2b-b^2+ab

сначала применим к правой части формулу приведения:

 

cos 2x = -cos x

cos 2x  + cos x = 0

2cos²x - 1 + cos x = 0

Пусть cos x = t, причём |t| ≤ 1

2t² + t - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

t1 = (-1 - 3) / 4 = -1

t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2

 

cos x = -1                              или                                        cos x = 1/2

x = π + 2πn,n∈Z                                                                 x = ±arccos 1/2 + 2πk,k∈Z

                                                                                              x = ±π/3 + 2πk,k∈Z

Данные решения могут совпадать, что разумеется нам не надо, поскольку тогда придётся писать что-то одно. В данном случае не совпадают, и это хорошо видно по числовой окружности, нанеся на неё точки π/3 и π видно, что решения никогда не наложатся одно на другое.

Поэтому, произведём отбор корней по обоим формулам.

Отберём корни из первого решения. Для этого впихнём данное решение в указанный промежуток и решим двойное неравенство относительно n:

       3π/2  ≤ π + 2πn ≤ 5π/2

         π/2  ≤  2πn ≤ 3π/2

      Разделим на 2п:

                      1/4 ≤n≤ 3/4

Видим, что никаких целых n нет на данном интервале. Значит, данное решение мы отбрасываем.

Осталось второе решение.

Также вобьём его в указанный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно k, но разобъём данное объединённое решение ещё на два и провернём с каждым подобную операцию:

 

                           3π/2  ≤  π/3 + 2πk ≤ 5π/2

                          7π/6  ≤  2πk ≤ 13π/6

                        Разделим данное неравенство на 2π:

                             7/12 ≤ k ≤ 13/12

           Замечаем, что на данном промежутке единственное целое значение k - это k = 1. Подставив его в общую формулу вместо k, получим тот самый корень, который нам требуется:

k = 1   x = π/3 + 2π = 7π/3 - это нужный отобранный корень

 

Теперь проверим. есть ли ещё такие корни.

Для этого впихнём в данный промежуток второй вариант решения ±π/3 + 2πk, это -π/3 + 2πk:

                                       

                                       3π/2  ≤ -π/3 + 2πk ≤ 5π/2

                                        11π/6 ≤ 2πk ≤ 17π/6

                                         11/12 ≤ k ≤ 17/12

По неравенству видно, что есть опять же только единственное значение k - это 1. Подставив его в эту формулу получим наш второй корень:

k = 1             x = -π/3 + 2π = 5π/3

 

Таким образом, ответ пишем таким образом:

 

а)π + 2πn,n∈Z; ±π/3 + 2πk,k∈Z

б)7π/3; 5π/3

Под буквой б - наши отобранные корни на заданном промежутке. Задача выполнена.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть собственная скорость лодки -   х км/ч,   составим таблицу:

 

                                  S (км)                      V (км/ч)                      t(ч)  

по течению                   24                         х + 3                       24/( х + 3)  

по озеру                       10                            х                              10/х

против течения             24                         х - 3                         24/( х - 3)  

 

Зная,  что на путь против течения реки они затратили  столько же времени, сколько на путь по течению реки и по озеру,  составим уравнение:

 

 24/( х - 3)   =    24/( х + 3)   +  10/х                          |  * х( х - 3)( х + 3)

24 х( х + 3)  =    24 х( х - 3)   +  10( х - 3)( х + 3)         |: 2

12 х( х + 3)  =   12 х( х - 3)   +  5( х - 3)( х + 3)

12 х²  + 36х   =  12 х²  -  36х   +  5( х² - 9)           

36х   =   -  36х   +  5 х² - 90 

5 х²   -  72х  - 90 = 0       

       D  =  72²  + 4*5*45 = 5184  + 900 =  6084

       √D  =  78

х₁ = (72 + 78)/ 2*5  = 150/10 = 15 (км/ч)     -  обственная скорость лодки

х₂ = (72 - 78)/ 2*5  = - 6/10 = - 0,6  ( не подходит, т.к. скорость не может быть 

                                                               отрицательной)

 

Скорость лодки по течению ровна:  15 + 3 = 18 (км/ч)

                      

ответ:  скорость движения лодки по течению реки 18 км/ч.