1.найти общий вид первообразной: а) f(x)=x^4-sin3x+5x б) f(x)=(3x+2)^3-4/x^6 2. высота цилиндра = 8дм., радиус основания = 5 дм. этот цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси так, что в сечении получается квадрат. найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра. !

 

2.дано: h=8, r=5, h=b

найти: d - ?

решение:

ответ: 3.

1) tg x + 3/tg x = 4, одз tg x < > 0

множим уравнение на tg(x), который по одз не ноль

(tg x)^2 - 4 tg x + 3 = 0

видим здесь квадратное уравнение относительно tg x.

а ещё видим, что сумма показателей степеней равна 1-4+3 = 0, поэтому один корень =1, второй по т.виетта =3

уравнение распадается на совокупность

tg x = 1

tg x = 3

 

выписываем решение:

x = arctg(1) + pi n, где ncz

x = arctg(3) + pi k, где kcz

 

ну можно ещё вспомнить, что arctg(1) = pi/4

 

2) вспоминаем формулу косинуса двойного угла:

cos 2a = 2 cos^2 a - 1

если a = x/2, то исходное уравнение может быть представлено как

cos x + 1 + sin x = 0

вобщем, тут уже очевидно, что либо cos x =0, sin x =-1, либо cos x=-1, sin x =0

но чтобы совсем честно решать, придётся поколдовать.

синус направо и всё в квадрат!

(cos x +1)^2 = sin^2 x

cos^2 x + 2 cos x + 1 = 1 - cos^2 x

2 cos^2 x + 2 cos x = 0

cos x (cos x + 1) = 0

произведение обращается в ноль если хотя бы один из множителей обращается в ноль. значит опять совокупность:

cos x = 0

cos x = -1

 

x = pi/2 + pi n , ncz,

x = pi + 2pi k, kcz

 

но тут небольшая грабля. чуть выше мы возводили к вадрат. а нулевому косинусу соответствуют два значения синуса: +1 и -1. и один из них нам не подходит.

вобщем, проверяем корни и убеждемся, что из первой последователности половина значений выпадает (pi/2 + 2pi n не являются корями. а pi/2 + pi + 2pi n - удовлетворяют)

 

ответ

x = 3pi/2 + 2pi n , ncz,

x = pi + 2pi k, kcz

 

 

 

пусть собственная скорость лодки равна  х км/ч,   а   скорость течения реки у км/ч.

  тогда    у/х  = 2/5.

 

за 4 часа лодка поднялась вверх по реке на 18 км  => (х-у)*4 = 18

 

система:

  у/х  = 2/5                                                                                          у = 2х/5

  (х-у)*4 = 18                                  =>                       (х - 2х/5)*4 = 18     

                   

                  4х -  8х/5 = 18             |*5

                20х -  8х  = 90

                12х  = 90

                х  = 90/12

                  х  =  7,5

у = 2х/5 = 2*7,5/5  = 3

ответ:     собственная скорость лодки равна  7,5 км/ч

                          скорость течения реки          -                      3 км/ч.