Разложите на множители многочлен 16t^2-1

(4t+1)(4t-1)

Ну, смотрите. Оба они лжецами быть не могут - иначе бы сказанные ими числа отличались на 10 или не отличались бы вовсе.
Теперь надо выяснить кто из них кто.
Допустим, первый студент - правдолюб. Тогда лжецов получится 504, а правдолюбов 506 (включая его самого). Тогда второй студент будет лжецом, а значит данные должны отличаться на 5 человек - должно быть 500 лжецов не считая его и 501 правдолюб (или же 509 лжецов не считая его и 510 правдолюбов). Как видно, цифры не совпадают с условиями задачи. А это значит, что предположение не верно и первый студент - лжец, а второй - правдолюб.
Проверим:
Если первый студент лжец, то по его словам лжецов здесь 505, как и правдолюбов. Значит на самом деле число лжецов 500 или 510, и правдолюбов 500 или 510.
Второй студент - правдолюб, он говорит, что в аудитории 500 лжецов и 500 правдолюбов (считая его). Совпало.
ответ: первый студент - лжец, а второй правдолюб.

Нужно воспользоваться формулой разности квадратов практически во всех примерах: (a - b)(a + b) = a² - b².

Выполните умножение:

1) 5b(b - 1)(b + 1) = 5b(b² - 1) = 5b³ - 5b;

2) (c + 2)(c - 2) · 8c² = (c² - 4) · 8c² = 8c⁴ - 32c²;

3) (m - 10)(m² + 100)(m + 10) =  (m - 10)(m + 10)(m² + 100) =

    = (m² - 100)(m² + 100) = m⁴ - 10 000;

4) (a² + 1)(a² - 1)(a⁴ + 1) = (a⁴ - 1)(a⁴ + 1) = a⁸ - 1;

Упростите выражение:

1) (x + 1)(x - 1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5) = x² - 1 - (x² - 25) + x² - 5x + x - 5 = x² - 1 - x² + 25 + x² - 4x - 5 = x² - 4x + 19;

2) 81a⁸ - (3a² - b³)(9a⁴ + b⁶)(3a² + b³) = 81a⁸ - (3a² - b³)(3a² + b³)(9a⁴ + b⁶) = 81a⁸ - (9a⁴ - b⁶)(9a⁴ + b⁶) = 81a⁸ - (81a⁸ - b¹²) = 81a⁸ - 81a⁸ + b¹² = b¹².