Дана функция у=2х3+6х2-1 найти промежутки возрастания и убывания

дана функция у=2х3+6х2-1 найти промежутки возрастания и убывания

используем необходимое и достаточное условие монотонности функции:  
y=f(x) возрастает на промежутке (a,b)⇔  когда производная y¹=f¹(x)  больше нуля , y¹>0;  
 y=f(x) убывает на промежутке (a,b)⇔  когда производная y¹=f¹(x)  меньше нуля , y¹<0.

Найдем производную  у¹=(2х³+6х²-1)¹=6x²+12x  и решим неравенство
6х²+12х>0

6x(x+2)>0

            +                                                -                               +
(-2)(0)   

↑(y=f(x) возрастает)            ↓  (y  убывает)                ↑(y возрастает)  
 
 при x∈(-∞,-2) ∪(0,∞)    y=f(x) возрастает,  при x∈(-2,0) y=f(x)  убывает 

См объяснение

Объяснение:

а) так как перед стоит положительный коэффициент (равный единице), следовательно ветви параболы направлены вверх

б) координаты вершины (x0, y0) вычисляются по формуле:

x0 = = = 3

y0 = y(x0) = 9 - 6*3 +5 = -4

Значит, координаты вершины : (3, -4)

c) Ось симметрии задается уравнением: x = 3

d) По теореме Виета:

Если x1, x2 - корни квадратного уравнения , ТО

Отсюда получаем корни x1 = 1; x2 = 5

Эти корни и есть нули функции

e) Дополнительные точки можно найти путем подстановки любых чисел: например, пусть x=0. тогда y = y(0) = 5

f) см прикрепленный рисунок

Та как  (х²+х-12) - это квадратный трёхчлен, то графиком этой функции является парабола

так как а=1, то ветви параболы будут направлены вверх

Найдём точку пересечения с осью ОХ

у=0, значит х²+х-12=0; Найдём корни по теореме Виета

х ₁= -4; х₂=3

Координаты точек пересечения с осью ОХ: (-4;0) и (3;0)

Координаты точки пересечения с осью ОУ :  (0; -12)

при  х=0  у= 0²+0-12=-12

Найдём абсцису вершины параболы:

Хв= -1/2*1= - 1/2= -0,5

Ув= (-0,5)²-0,5-12=0,25-12,5=-12,25

Координаты вершины параболы ( -0,5; -12,25)

Ось симметрии параболы х= -0,5

Найдём ещё несколько точек для построения

х    -3     2     -2       1

у     -6   -6     -10     -10