При каких значениях переменных многочлен принимает наименьшее значение? найдите это наименьшее значение : а.) x^2+4xy+5y^2+4y+2 б.) x^2+4xy+4y^2+2x+4y+2 в.) x^2+y^2+z^2+2xy+2x+2y-4z+12

А)  x^2+4xy+5y^2+4y+2 =  (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 +4y + 4) - 2 =
(x + 2y)^2 + (y + 2)^2 - 2
(x + 2y)^2 = min = 0 при x + 2y = 0 ⇔ x = -2y
(y + 2) ^2 = min = 0 при y = - 2
x = -2y = -2 * (-2) = 4
0 + 0 - 2 = -2
б) (x^2+4xy+4y^2)+2x+4y+2 = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) + 1 + 1 =
(x + 2y + 1)^2 + 1
минимально при x + 2y + 1 = 0
x = -2y - 1
y ∈ R
0^2 + 1 = 1
в) x^2+y^2+z^2+2xy+2x+2y-4z+12 = 
(x^2 + 2xy + y^2) + 2(x + y) + 1 + (z^2 - 4z + 4) + 7 =
(x + y + 1)^2 + (z - 2)^2 + 7
аналогично
z = 2
x ∈ R
y = -1 - x
значение = 7

Найдем производную функции

, где 

, это находится по правилу деффиренцирования.

Значение функции может принимать максимальное или минимальное значение в точках касания, когда касательная параллельна оси ОХ, т.е. угловой коэффициент этой прямой равен 0, т.к.tg0=0 значит ], решаем квадратное уравнение:

Корни:x=-20/3=-6,(6), он не подходит т.к. x может принимать значения от -5 до 8,

2-ой корень x=-4, подставим это значение в начальную функцию: и получим y=2, теперь подставим -5 и 8:

x=-5,y=5

x=8,y=2306, т.е. наименьшее значение функции y=2

ответ:

И график в доказательство 

Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников, ромб - на два. 
Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна `a`. Из трех таких треугольников нужно собрать один, и его сторона тогда должна быть равна a * sqrt(3), чтобы площадь была одна и та же. Заметим, что половина стороны большого треугольника равна
   a * sqrt(3) / 2,
а это равно высоте маленького треугольника. Разделим маленький на две части пополам, а большой - на 6 частей медианами. Части маленького и большого треугольников равны между собой.